চলক (গণিত)

ণিতে চলক বা চলরাশি বলতে এমন একটি রাশিকে বোঝায়, যার মান কোনো গাণিতিক সমস্যা বা পরীক্ষণের প্রেক্ষাপটে অজ্ঞাত ও পরিবর্তনশীল এবং এটি কোনো প্রদত্ত সেটের বিভিন্ন মান গ্রহণ করতে পারে। সাধারণত একটিমাত্র বর্ণ দিয়ে একটি চলককে নির্দেশ করা হয়। এর বিপরীতে জ্ঞাত, অপরিবর্তনশীল রাশিকে ধ্রুবক বলা হয়। বীজগাণিতিক গণন প্রক্রিয়াতে সংখ্যার পরিবর্তে চলক ব্যবহার করে একটিমাত্র গণনার মাধ্যমে অনেকগুলি সদৃশ গাণিতিক সমস্যার সমাধান করা হয়।

সাধারণত যে পরিমাপযোগ্য রাশিটির মান অজানা ও পরিবর্তনশীল, সেটির নামের আদ্যবর্ণটি দিয়ে এর চলরাশিটিকে নির্দেশ করা হয়। যেমন– E দিয়ে energy (শক্তি), V দিয়ে volt (বিভব), ইত্যাদি। তবে সাধারণভাবে x $x$ , y $y$ , z $z$ , a $a$ , b $b$ , c $c$ প্রভৃতি বর্ণগুলি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

নির্দিষ্ট ধরণের চলকসমূহ

চলকের জন্য একই গাণিতিক সূত্রে বিভিন্ন ভূমিকা পালন করা সাধারণ এবং তাদের পার্থক্য করার জন্য বিভিন্ন নাম দেওয়া হয়ে থাকে; যা বিভিন্ন অজ্ঞাত রাশির মানকে নির্দেশ করে। উদাহরণস্বরূপ, সাধারণ ঘন সমীকরণ (general cubic equation) a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ ^[১]

ঘাতের ভিত্তিতে চলক নিম্নরুপ-

১/এক ঘাত বিশিষ্ট চলক

২/দ্বিঘাত বিশিষ্ট চলক

৩/বহুঘাত বিশিষ্ট চলক

এক চলক সংবলিত দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ a x 2 + b x + c = 0 $ax^2+bx+c=0$ । এখানে a $a$ , b $b$ , c $c$ বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0 ${\displaystyle a\neq 0}$ ।^[২]

প্রমাণ

{\displaystyle (ax^{2}+bx+c)\times a=0\times a}

	যথার্থতা
a x 2 + b x + c = 0
⇒ ( a x 2 + b x + c ) × a = 0 × a $(ax^{2}+bx+c)\times a=0\times a$	উভয় পক্ষকে a দ্বারা গুণ করে
⇒ a 2 x 2 + a b x + a c = 0 $a^{2}x^{2}+abx+ac=0$
⇒ ( a x ) 2 + 2 $(ax)^{2}+2$ • ( a x ) $(ax)$ • b 2 + ( b 2 ) 2 − ( b 2 ) 2 + a c = 0 ${\frac {b}{2}}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+ac=0$
⇒ ( a x ) 2 + 2 $(ax)^{2}+2$ • ( a x ) $(ax)$ • b 2 + ( b 2 ) 2 = ( b 2 ) 2 − a c ${\frac {b}{2}}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-ac$
⇒ ( a x ) 2 + 2 $(ax)^{2}+2$ • ( a x ) $(ax)$ • b 2 + ( b 2 ) 2 = ( b 2 2 2 ) − a c ${\frac {b}{2}}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {b^{2}}{2^{2}}}\right)-ac$
⇒ ( a x ) 2 + 2 $(ax)^{2}+2$ • ( a x ) $(ax)$ • b 2 + ( b 2 ) 2 = b 2 4 − a c ${\frac {b}{2}}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4}}-ac$
⇒ ( a x + b 2 ) 2 = b 2 4 − a c $\left(ax+{\frac {b}{2}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4}}-ac$	∵ a 2 + 2 a b + b 2 = ( a + b ) 2
⇒ ( a x + b 2 ) 2 = b 2 − 4 a c 4 $\left(ax+{\frac {b}{2}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4}}$
⇒ ( a x + b 2 ) 2 = b 2 − 4 a c 4 ${\sqrt {\left(ax+{\frac {b}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4}}}$	উভয় পক্ষের বর্গমূল করে
⇒ a x + b 2 = b 2 − 4 a c 4 $ax+{\frac {b}{2}}={\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4}}}$
⇒ a x + b 2 = ± b 2 − 4 a c 2 $ax+{\frac {b}{2}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2}}$	∵ a x + b 2 = b 2 − 4 a c 4 $\because ax+{\frac {b}{2}}={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{\sqrt {4}}}$
⇒ a x = − b 2 ± b 2 − 4 a c 2 $ax=-{\frac {b}{2}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2}}$	উভয়পক্ষে − b 2 যোগ করে
⇒ a x = − b ± b 2 − 4 a c 2 $ax={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2}}$
∴ x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a $\therefore x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$	উভয় পক্ষকে a দ্বারা ভাগ করে