BCS Question | Online Preparation

সাজিটা (জ্যামিতি)

Written by

admin

in

যে কোন বৃত্তচাপের কেন্দ্র থেকে এর ভিত্তির দূরত্বকে[১] সাজিটা (sagitta বা sag[২]) বলা হয়। এই শব্দটি স্থাপত্যবিদ্যায় নির্দিষ্ট উচ্চতা বা দূরত্বে স্প্যানিংয়ের [৩] প্রয়োজনে বৃত্তচাপের হিসাব কার্যে ব্যাপকহারে ব্যবহৃত হয়। এছাড়া আলোক বিজ্ঞানে গোলীয় দর্পণ ও লেন্সের গভীরতা নির্দেশ করতেও এর প্রয়োগ করা। শব্দটি সরাসরি ল্যাটিন থেকে এসেছে যার অর্থ শর বা তীর।

সূত্র

ধরাযাক, কোন বৃত্তচাপের গভীরতা বা উচ্চতা s {\displaystyle s}, বৃত্তচাপের বা সংশ্লিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ r r এবং বৃত্তচাপের প্রান্তবিন্দু দুটিকে সংযোগকারী[৪] রেখা তথা জ্যা এর অর্ধাংশের দৈর্ঘ্য ℓ {\displaystyle \ell }।

এখন, ℓ {\displaystyle \ell } ও r − s {\displaystyle r-s} একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন দুই বাহু এবং r {\displaystyle r} ঐ ত্রিভুজের অতিভূজ হওয়ায় পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই— r 2 = ℓ 2 + ( r − s ) 2 . {\displaystyle r^{2}=\ell ^{2}+(r-s)^{2}.}

এই সমীকরণকে পুনর্বিন্যাস করে নিম্নোক্ত সমীকরণ তিনটি পাওয়া যাবে— s = r − r 2 − ℓ 2 , {\displaystyle s=r-{\sqrt {r^{2}-{\ell ^{2}}}},} ℓ = 2 r s − s 2 , {\displaystyle \ell ={\sqrt {2rs-s^{2}}},} or r = s 2 + ℓ 2 2 s = s 2 + ℓ 2 2 s . {\displaystyle r={\frac {s^{2}+\ell ^{2}}{2s}}={\frac {s}{2}}+{\frac {\ell ^{2}}{2s}}.}

এছাড়াও ভারসাইন ফাংশন থেকেও সাজিটার পরিমাপ করা যায়। যেমন—একক বৃত্তের ক্ষেত্রে বৃত্তচাপের স্প্যান কোণ Δ = 2θ হলে এবং বৃত্তচাপটি ভারসাইনের অনুরূপ হলে সাজিটার পরিমাপ হবে— s = r versin ⁡ θ = r ( 1 − cos ⁡ θ ) = 2 r sin 2 ⁡ θ 2 . {\displaystyle s=r\operatorname {versin} \theta =r\left(1-\cos \theta \right)=2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}

আসন্ন মান

সাজিটার দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের তুলনায় ক্ষুদ্র হলে নিচের সূত্র থেকে এর আসন্ন মান পাওয়া যায়: s ≈ ℓ 2 2 r {\displaystyle s\approx {\frac {\ell ^{2}}{2r}}}.[৫]

বিপরীতক্রমে, সাজিটা ছোট হলে এবং সাজিটা, ব্যাসার্ধ ও অর্ধ-জ্যা এর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে বৃত্তচাপ-দৈর্ঘ্য a a এর আসন্ন মান নির্ণয়ে নিম্নোক্ত সূত্র প্রয়োগ করা যেতে পারে— a ≈ ℓ + s 2 r {\displaystyle a\approx \ell +{\frac {s^{2}}{r}}}


এই সূত্রটি চিনা গণিতবিদ শেন কুওর জানা ছিল। দুই শতাব্দী পরে গুও শৌজিং চাপ-দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের ক্ষেত্রে সাজিটার সাথে সম্পর্কযুক্ত আরো নিখুঁত একটি সূত্রের[স্পষ্টকরণ প্রয়োজন] উন্নয়ন ঘটান।[৬]

প্রয়োগ

বাঁকা-চ্যাপ্টা কাঠামো যেমন— বাঁকা দেয়াল, বৃত্তচাপ আকৃতির ছাদ ও সেতু নির্মাণসহ অন্যান্য অসংখ্য কাজে স্থপতি, প্রকৌশলী এবং ঠিকাদারেরা এই সমীকরণসমূহ প্রয়োগ করেন।

এছাড়া পদার্থবিজ্ঞানে ত্বরিত কণার বক্রতার ব্যাসার্ধ নির্ণয়ে জ্যা-দৈর্ঘ্যসহ সাজিটাও ব্যবহার করা হয়। বিশেষকরে, বুদবুদ চেম্বার পরীক্ষণে ক্ষয় কণাসমূহের ভরবেগ নির্ণয়ে এটা ব্যবহৃত হয়।

More posts