BCS Question | Online Preparation

গাণিতিক আরোহ বিধি

Written by

admin

in

গাণিতিক আরোহ বিধি হলো স্বাভাবিক সংখ্যা সম্পর্কে কোন উপপাদ্য প্রমাণ করার একটি পদ্ধতি। যদি দেখানো যায় যে কোন উপপাদ্য P ( n ) {\displaystyle P(n)} এর জন্য (যেখানে n {\displaystyle n} কোন স্বাভাবিক সংখ্যা এবং P {\displaystyle P} কোন ফাংশন ( n {\displaystyle n} সম্পর্কে))

গাণিতিক আরোহ বিধি হলো স্বাভাবিক সংখ্যা সম্পর্কে কোন উপপাদ্য প্রমাণ করার একটি পদ্ধতি। যদি দেখানো যায় যে কোন উপপাদ্য P ( n ) {\displaystyle P(n)} এর জন্য (যেখানে n {\displaystyle n} কোন স্বাভাবিক সংখ্যা এবং P {\displaystyle P} কোন ফাংশন ( n {\displaystyle n} সম্পর্কে))

  • P ( 0 ) {\displaystyle P(0)} সত্য

এবং

  • যদি P ( m ) {\displaystyle P(m)} সত্য হয় তবে P ( m + 1 ) {\displaystyle P(m+1)} সত্য (যেখানে m m কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা)

তবে P ( n ) {\displaystyle P(n)} সব স্বাভাবিক সংখ্যার জন্যই সত্য (যেহেতু স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো কেবলমাত্র এইভাবে গঠন করা যায়)।

প্রমাণ এবং উদাহরণ

এখানে আমরা একটি সংক্ষিপ্ত সংস্করণ প্রমাণ করব। প্রামাণ্য রূপ:-

ধরি S ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট, যার নিম্নোক্ত বৈশিষ্ট্য গুলি আছে:-

(a). 1∈ S

(b). যখন k∈ S, তখন (k+1)∈ S

তাহলে S সব পূর্ণসংখ্যার সেট।

প্রমাণ:-

ধরি T এমন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট যারা S এ নেই। ধরি T অশূন্য সেট। সুসামঞ্জস্য নীতি অনুযায়ী T এর তাহলে একটি ন্যূনতম পদ থাকবে। ধরি পদটি a। যেহেতু 1∈S, a>1 আর তাই 0<a-1<a। a,T এর ন্যূনতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই (a-1), Tতে নেই, আর সেইকারণেই Sএ আছে।প্রশ্নমতে, Sএ (a-1)+1 ও আছে, যা Tতে aএর উপস্থিতির বিরোধী। তাই আমরা সিদ্ধান্তে আসতে পারি T সেটটি শূন্য সেট এবং S সমস্ত পূর্ণসংখ্যার সেট।

উদাহরণ:-

আমরা দেখাতে চাই যে যে কোন স্বাভাবিক সংখ্যা n {\displaystyle n} এর জন্য 1 + 3 + . . . + ( 2 n + 1 ) = ( n + 1 ) 2 {\displaystyle 1+3+...+(2n+1)=(n+1)^{2}}

  • P ( 0 ) {\displaystyle P(0)} হলে, 1 = ( 0 + 1 ) 2 = 1 2 = 1 {\displaystyle 1=(0+1)^{2}=1^{2}=1}, যা অবশ্যই সত্য
  • ধরা যাক P ( n ) {\displaystyle P(n)} সত্য, অর্থাৎ 1 + 3 + . . . + ( 2 n + 1 ) = ( n + 1 ) 2 {\displaystyle 1+3+...+(2n+1)=(n+1)^{2}}, তাহলে দুই পক্ষে ( 2 n + 3 ) {\displaystyle (2n+3)} যোগ করে পাই

বাম পক্ষে: 1 + 3 + . . . + ( 2 n + 1 ) + ( 2 n + 3 ) = 1 + 3 + . . + ( 2 ( n + 1 ) + 1 ) {\displaystyle 1+3+...+(2n+1)+(2n+3)=1+3+..+(2(n+1)+1)}

ডান পক্ষে: ( n + 1 ) 2 + ( 2 n + 3 ) = ( n + 1 ) 2 + 2 ( n + 1 ) + 1 2 = ( ( n + 1 ) + 1 ) 2 {\displaystyle (n+1)^{2}+(2n+3)=(n+1)^{2}+2(n+1)+1^{2}=((n+1)+1)^{2}}

তার মানে P ( n + 1 ) {\displaystyle P(n+1)} সত্য P ( n ) {\displaystyle P(n)} এ n {\displaystyle n} এর জায়গায় n + 1 {\displaystyle n+1} বসিয়ে দেখুন)। সুতরাং গাণিতিক আরওহ বিধি বলে P ( n ) {\displaystyle P(n)} সব স্বাভাবিক সংখ্যার জন্যই সত্য।

বিষয়শ্রেণী:

More posts