Author: admin

চলক (গণিত)

ণিতে চলক বা চলরাশি বলতে এমন একটি রাশিকে বোঝায়, যার মান কোনো গাণিতিক সমস্যা বা পরীক্ষণের প্রেক্ষাপটে অজ্ঞাত ও পরিবর্তনশীল এবং এটি কোনো প্রদত্ত সেটের বিভিন্ন মান গ্রহণ করতে পারে। সাধারণত একটিমাত্র বর্ণ দিয়ে একটি চলককে নির্দেশ করা হয়। এর বিপরীতে জ্ঞাত, অপরিবর্তনশীল রাশিকে ধ্রুবক বলা হয়। বীজগাণিতিক গণন প্রক্রিয়াতে সংখ্যার পরিবর্তে চলক ব্যবহার করে একটিমাত্র গণনার মাধ্যমে অনেকগুলি সদৃশ গাণিতিক সমস্যার সমাধান করা হয়।

সাধারণত যে পরিমাপযোগ্য রাশিটির মান অজানা ও পরিবর্তনশীল, সেটির নামের আদ্যবর্ণটি দিয়ে এর চলরাশিটিকে নির্দেশ করা হয়। যেমন– E দিয়ে energy (শক্তি), V দিয়ে volt (বিভব), ইত্যাদি। তবে সাধারণভাবে x $x$ , y $y$ , z $z$ , a $a$ , b $b$ , c $c$ প্রভৃতি বর্ণগুলি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

নির্দিষ্ট ধরণের চলকসমূহ

চলকের জন্য একই গাণিতিক সূত্রে বিভিন্ন ভূমিকা পালন করা সাধারণ এবং তাদের পার্থক্য করার জন্য বিভিন্ন নাম দেওয়া হয়ে থাকে; যা বিভিন্ন অজ্ঞাত রাশির মানকে নির্দেশ করে। উদাহরণস্বরূপ, সাধারণ ঘন সমীকরণ (general cubic equation) a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ ^[১]

ঘাতের ভিত্তিতে চলক নিম্নরুপ-

১/এক ঘাত বিশিষ্ট চলক

২/দ্বিঘাত বিশিষ্ট চলক

৩/বহুঘাত বিশিষ্ট চলক

এক চলক সংবলিত দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ a x 2 + b x + c = 0 $ax^2+bx+c=0$ । এখানে a $a$ , b $b$ , c $c$ বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0 ${\displaystyle a\neq 0}$ ।^[২]

প্রমাণ

{\displaystyle (ax^{2}+bx+c)\times a=0\times a}

	যথার্থতা
a x 2 + b x + c = 0
⇒ ( a x 2 + b x + c ) × a = 0 × a $(ax^{2}+bx+c)\times a=0\times a$	উভয় পক্ষকে a দ্বারা গুণ করে
⇒ a 2 x 2 + a b x + a c = 0 $a^{2}x^{2}+abx+ac=0$
⇒ ( a x ) 2 + 2 $(ax)^{2}+2$ • ( a x ) $(ax)$ • b 2 + ( b 2 ) 2 − ( b 2 ) 2 + a c = 0 ${\frac {b}{2}}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+ac=0$
⇒ ( a x ) 2 + 2 $(ax)^{2}+2$ • ( a x ) $(ax)$ • b 2 + ( b 2 ) 2 = ( b 2 ) 2 − a c ${\frac {b}{2}}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-ac$
⇒ ( a x ) 2 + 2 $(ax)^{2}+2$ • ( a x ) $(ax)$ • b 2 + ( b 2 ) 2 = ( b 2 2 2 ) − a c ${\frac {b}{2}}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {b^{2}}{2^{2}}}\right)-ac$
⇒ ( a x ) 2 + 2 $(ax)^{2}+2$ • ( a x ) $(ax)$ • b 2 + ( b 2 ) 2 = b 2 4 − a c ${\frac {b}{2}}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4}}-ac$
⇒ ( a x + b 2 ) 2 = b 2 4 − a c $\left(ax+{\frac {b}{2}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4}}-ac$	∵ a 2 + 2 a b + b 2 = ( a + b ) 2
⇒ ( a x + b 2 ) 2 = b 2 − 4 a c 4 $\left(ax+{\frac {b}{2}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4}}$
⇒ ( a x + b 2 ) 2 = b 2 − 4 a c 4 ${\sqrt {\left(ax+{\frac {b}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4}}}$	উভয় পক্ষের বর্গমূল করে
⇒ a x + b 2 = b 2 − 4 a c 4 $ax+{\frac {b}{2}}={\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4}}}$
⇒ a x + b 2 = ± b 2 − 4 a c 2 $ax+{\frac {b}{2}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2}}$	∵ a x + b 2 = b 2 − 4 a c 4 $\because ax+{\frac {b}{2}}={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{\sqrt {4}}}$
⇒ a x = − b 2 ± b 2 − 4 a c 2 $ax=-{\frac {b}{2}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2}}$	উভয়পক্ষে − b 2 যোগ করে
⇒ a x = − b ± b 2 − 4 a c 2 $ax={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2}}$
∴ x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a $\therefore x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$	উভয় পক্ষকে a দ্বারা ভাগ করে

January 8, 2023

গাণিতিক আরোহ বিধি
গাণিতিক আরোহ বিধি হলো স্বাভাবিক সংখ্যা সম্পর্কে কোন উপপাদ্য প্রমাণ করার একটি পদ্ধতি। যদি দেখানো যায় যে কোন উপপাদ্য P ( n ) $P(n)$ এর জন্য (যেখানে n $n$ কোন স্বাভাবিক সংখ্যা এবং P $P$ কোন ফাংশন ( n $n$ সম্পর্কে))

গাণিতিক আরোহ বিধি হলো স্বাভাবিক সংখ্যা সম্পর্কে কোন উপপাদ্য প্রমাণ করার একটি পদ্ধতি। যদি দেখানো যায় যে কোন উপপাদ্য P ( n ) $P(n)$ এর জন্য (যেখানে n $n$ কোন স্বাভাবিক সংখ্যা এবং P $P$ কোন ফাংশন ( n $n$ সম্পর্কে))
- P ( 0 ) $P(0)$ সত্য
এবং
- যদি P ( m ) $P(m)$ সত্য হয় তবে P ( m + 1 ) $P(m+1)$ সত্য (যেখানে m $m$ কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা)
তবে P ( n ) $P(n)$ সব স্বাভাবিক সংখ্যার জন্যই সত্য (যেহেতু স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো কেবলমাত্র এইভাবে গঠন করা যায়)।

প্রমাণ এবং উদাহরণ

এখানে আমরা একটি সংক্ষিপ্ত সংস্করণ প্রমাণ করব। প্রামাণ্য রূপ:-

ধরি S ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট, যার নিম্নোক্ত বৈশিষ্ট্য গুলি আছে:-

(a). 1∈ S

(b). যখন k∈ S, তখন (k+1)∈ S

তাহলে S সব পূর্ণসংখ্যার সেট।

প্রমাণ:-

ধরি T এমন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট যারা S এ নেই। ধরি T অশূন্য সেট। সুসামঞ্জস্য নীতি অনুযায়ী T এর তাহলে একটি ন্যূনতম পদ থাকবে। ধরি পদটি a। যেহেতু 1∈S, a>1 আর তাই 0<a-1<a। a,T এর ন্যূনতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই (a-1), Tতে নেই, আর সেইকারণেই Sএ আছে।প্রশ্নমতে, Sএ (a-1)+1 ও আছে, যা Tতে aএর উপস্থিতির বিরোধী। তাই আমরা সিদ্ধান্তে আসতে পারি T সেটটি শূন্য সেট এবং S সমস্ত পূর্ণসংখ্যার সেট।

উদাহরণ:-

আমরা দেখাতে চাই যে যে কোন স্বাভাবিক সংখ্যা n $n$ এর জন্য 1 + 3 + . . . + ( 2 n + 1 ) = ( n + 1 ) 2 $1+3+...+(2n+1)=(n+1)^{2}$
- P ( 0 ) $P(0)$ হলে, 1 = ( 0 + 1 ) 2 = 1 2 = 1 $1=(0+1)^{2}=1^{2}=1$ , যা অবশ্যই সত্য
- ধরা যাক P ( n ) $P(n)$ সত্য, অর্থাৎ 1 + 3 + . . . + ( 2 n + 1 ) = ( n + 1 ) 2 $1+3+...+(2n+1)=(n+1)^{2}$ , তাহলে দুই পক্ষে ( 2 n + 3 ) $(2n+3)$ যোগ করে পাই
বাম পক্ষে: 1 + 3 + . . . + ( 2 n + 1 ) + ( 2 n + 3 ) = 1 + 3 + . . + ( 2 ( n + 1 ) + 1 ) $1+3+...+(2n+1)+(2n+3)=1+3+..+(2(n+1)+1)$

ডান পক্ষে: ( n + 1 ) 2 + ( 2 n + 3 ) = ( n + 1 ) 2 + 2 ( n + 1 ) + 1 2 = ( ( n + 1 ) + 1 ) 2 $(n+1)^{2}+(2n+3)=(n+1)^{2}+2(n+1)+1^{2}=((n+1)+1)^{2}$

তার মানে P ( n + 1 ) $P(n+1)$ সত্য P ( n ) $P(n)$ এ n $n$ এর জায়গায় n + 1 $n+1$ বসিয়ে দেখুন)। সুতরাং গাণিতিক আরওহ বিধি বলে P ( n ) $P(n)$ সব স্বাভাবিক সংখ্যার জন্যই সত্য।

বিষয়শ্রেণী:
- বীজগণিত
- এ পৃষ্ঠায় শেষ পরিবর্তন হয়েছিল ১১:৫০টার সময়, ১৬ আগস্ট ২০২২ তারিখে।
- লেখাগুলো ক্রিয়েটিভ কমন্স অ্যাট্রিবিউশন/শেয়ার-আলাইক লাইসেন্সের আওতাভুক্ত; এর সাথে বাড়তি শর্ত প্রযোজ্য হতে পারে। এই সাইট ব্যবহার করার মাধ্যমে, আপনি এটি ব্যবহারের শর্তাবলী ও এর গোপনীয়তা নীতির সাথে সম্মত হচ্ছেন। উইকিপিডিয়া®, অলাভজনক সংস্থা উইকিমিডিয়া ফাউন্ডেশনের একটি নিবন্ধিত ট্রেডমার্ক।
January 8, 2023

ক্ষেত্র (গণিত)

ফিল্ড একটি বীজগাণিতিক গঠন যাতে যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ (শুণ্য দিয়ে ভাগ করা ছাড়া) করা যায়। পাটিগণিতের প্রায় সব গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য ফিল্ডের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

গণিতের যে শাখায় ফিল্ড নিয়ে গবেষণা করা হয় তাকে স্বাভাবিক কারণে ফিল্ড তত্ত্ব বলা হয়।

সংজ্ঞা

একটি ফীল্ড F ${\mathcal {F}}$ একটি সেট, যাতে + $+$ এবং ∗ $*$ নামের দুইটি বাইনারি ফাংশন ( F × F → F ${\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}$ ) সংজ্ঞায়িত, যেন:

+ $+$ এবং ∗ $*$ উভয়েই সংযোজনযোগ্য:

( a + b ) + c = a + ( b + c ) , ( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) $(a+b)+c=a+(b+c),\,(a*b)*c=a*(b*c)$ , যেখানে a , b , c ∈ F $a,b,c\in {\mathcal {F}}$

+ $+$ এবং ∗ $*$ উভয়েই বিনিময়যোগ্য

a + b = b + a , a ∗ b = b ∗ a $a+b=b+a,a*b=b*a$ , যেখানে a , b ∈ F $a,b\in {\mathcal {F}}$

∗ $*$ ফাংশনটি + $+$ এর উপর বিতরণযোগ্য

a ∗ ( b + c ) = a ∗ b + a ∗ c $a*(b+c)=a*b+a*c$ , যেখানে a , b , c ∈ F $a,b,c\in {\mathcal {F}}$

+ $+$ এর জন্য অভেদকের অস্তিত্ব:

F ${\mathcal {F}}$ -এ একটি সদস্য 0 $0$ আছে যেন যে কোন a ∈ F $a\in {\mathcal {F}}$ এর জন্য a + 0 = 0 + a = a $a+0=0+a=a$ হয়

∗ $*$ এর জন্য অভেদকের অস্তিত্ব:

F ${\mathcal {F}}$ -এ একটি সদস্য 1 $1$ আছে ( 0 $0$ থেকে ভিন্ন) যেন যে কোন a ∈ F $a\in {\mathcal {F}}$ এর জন্য a ∗ 1 = 1 ∗ a = a $a*1=1*a=a$ হয়

+ $+$ এর জন্য বিপরীতকের অস্তিত্ব:

যে কোন a ∈ F $a\in {\mathcal {F}}$ এর জন্য একটি − a ∈ F $-a\in {\mathcal {F}}$ আছে যেন a + ( − a ) = 0 $a+(-a)=0$ হয়

∗ $*$ এর জন্য বিপরীতকের অস্তিত্ব:

যে কোন a ∈ F $a\in {\mathcal {F}}$ , যেখানে a ≠ 0 $a\neq 0$ , এর জন্য একটি a − 1 ∈ F $a^{-1}\in {\mathcal {F}}$ আছে যেন a ∗ a − 1 = 1 $a*a^{-1}=1$ হয়

উদাহরণ

বাস্তব সংখ্যাগুলি একটি ফীল্ড।
জটিল সংখ্যাগুলিও একটি ফীল্ড।
পূর্ণ সংখ্যাগুলি ফীল্ড নয়। কারণ এমন অনেক পূর্ণ সংখ্যা আছে যাদের ∗ $*$ এর জন্য বিপরীতক পূর্ণ সংখ্যা নয়। যেমন ৫ এর বিপরীতক হল ১/৫, যা পূর্ণ সংখ্যা নয়। অর্থাৎ পূর্ণ সংখ্যার সেটে ৫ এর কোন বিপরীতক নেই।
মূলদ এবং বীজগাণিতিক সংখ্যাগুলি ফীল্ড।

বীজগণিতবীজগণিত • মেট্রিক্স • নির্ণায়ক • বহুপদী • বীজগাণিতিক সমীকরণ • ফিল্ড • গ্যালোয়ার তত্ত্ব • যোগাশ্রয়ী জগৎ • রিং • সহযোগী বীজগণিত • বিনিমেয় রিং • ন্যোথারীয় রিং • বহুপদীর রিং • ঘাত ধারার রিং • দ্বিঘাত বহুপদী • ক্লিফোর্ড বীজগণিত • অন্তরক রিং • ভিট ভেক্টর • মান আরোপন • আদেলীয় গ্রুপ • কেলি বীজগণিত • জর্ডান বীজগণিত • মডিউল • হোমোলজীয় বীজগণিত • হপ্‌ফ্‌ বীজগণিত

গণিত বিষয়ক এই নিবন্ধটি অসম্পূর্ণ। আপনি চাইলে এটিকে সম্প্রসারিত করে উইকিপিডিয়াকে সাহায্য করতে পারেন।

বিষয়শ্রেণীসমূহ:

এ পৃষ্ঠায় শেষ পরিবর্তন হয়েছিল ১১:৪০টার সময়, ১৮ জুলাই ২০২১ তারিখে।
লেখাগুলো ক্রিয়েটিভ কমন্স অ্যাট্রিবিউশন/শেয়ার-আলাইক লাইসেন্সের আওতাভুক্ত; এর সাথে বাড়তি শর্ত প্রযোজ্য হতে পারে। এই সাইট ব্যবহার করার মাধ্যমে, আপনি এটি ব্যবহারের শর্তাবলী ও এর গোপনীয়তা নীতির সাথে সম্মত হচ্ছেন। উইকিপিডিয়া®, অলাভজনক সংস্থা উইকিমিডিয়া ফাউন্ডেশনের একটি নিবন্ধিত ট্রেডমার্ক।

January 8, 2023

কেন্দ্র (বলয় তত্ত্ব)
কোন রিং বা বলয়ের কেন্দ্র R হল এমন একটি উপবলয় যেখানে উপবলয়টি x উপাদান নিয়ে গঠিত যেন R এর সকল উপাদান y এর জন্য xy = yxহয়। কোন বলয়ের কেন্দ্র হল একটি বিনিময় ধর্মী বলয় যা Z ( R ) $Z(R)$ দ্বারা নির্দেশ করা হয়; Z $Z$ হল জার্মান শব্দ Zentrum এর সংক্ষিপ্ত রূপ যার অর্থ “কেন্দ্র”

যদি R একটি বলয় হয় তবে R তার কেন্দ্রের উপর একটি সংযোজক বীজগণিত (associative algebra)। বিপরীতক্রমে R যদি বিনিময়ধর্মী উপবলয় S এর উপর একটি সংযোজক বীজগণিত হয় তবে S হবে R এর কেন্দ্রের একটি উপবলয় এবং S যদি R এর কেন্দ্রে ঘটে থাকে তবে R বীজগণিতকে কেন্দ্রীয় বীজগণিত বলা হয়।

উদাহরণ
- কোন বিনিময়ধর্মী বলয় R নিজেই R
- কোন তীর্যক ক্ষেত্রের কেন্দ্র একটি ক্ষেত্র
- কোন বিনিময়ধর্মী বলয় R এ অন্তর্ভুক্ত বা প্রবেশযোগ্য (পূর্ণাঙ্গ) ম্যাট্রিক্স বলয়ের কেন্দ্র একক ভেক্টরের R-স্কেলার গুণিতক নিয়ে গঠিত।^[১]
- যদি k ক্ষেত্রের ক্ষেত্র প্রসারণ F হয় এবং k এর উপরে R একটি বীজগণিত হয় তবে Z ( R ⊗ k F ) = Z ( R ) ⊗ k F $Z(R\otimes _{k}F)=Z(R)\otimes _{k}F$
- একটি লী বীজগণিতের সার্বজনীন আচ্ছাদি বীজগণিতের কেন্দ্র লী বীজগণিত উপস্থাপনা তত্ত্বের ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। যেমন— কোন ক্যাসিমির উপাদান এমনই একটি কেন্দ্র যা লী বীজগণিত উপস্থাপনার বিশ্লেষণের জন্য ব্যবহার করা হয়। হরিশ চন্দ্র আইসোমর্ফিজম দেখুন।
- কোন সরল বীজগণিতের কেন্দ্র হল একটি ক্ষেত্র।
January 8, 2023
অপেক্ষক (গণিত)

অপেক্ষক বা ফাংশন(ইংরেজি: Function) একটি গাণিতিক ধারণা যা দুইটি রাশির মধ্যে পারস্পরিক নির্ভরশীলতা প্রকাশ করে। একটি রাশিকে বলা হয় প্রদত্ত রাশি, বা স্বাধীন চলক বা অপেক্ষকটির আর্গুমেন্ট বা ইনপুট। অপরটিকে উৎপাদিত রাশি বা অপেক্ষকের মান বা আউটপুট বলা হয়। অপেক্ষক কোন একটি নির্দিষ্ট সেট থেকে (যেমন-বাস্তব সংখ্যার সেট থেকে) নেয়া প্রতিটি ইনপুট উপাদানের জন্য একটি অনন্য আউটপুটকে সম্পর্কিত করে।

কোনো অপেক্ষককে বিভিন্ন উপায়ে প্রকাশ করা যায়: সূত্রের সাহায্যে, লেখচিত্রের সাহায্যে, অপেক্ষকটি গণনাকারী অ্যালগোরিদমের সাহায্যে, কিংবা অপেক্ষকটির বৈশিষ্ট্য বর্ণনা করে। কখনও কখনো একটি অপেক্ষককে অন্য এক বা একাধিক অপেক্ষকের সাথে এর সম্পর্কের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় (যেমন- বিপরীত ফাংশন)। বিভিন্ন ব্যবহারিক শাস্ত্রে অপেক্ষকগুলিকে প্রায়শই তাদের মানের সারণি কিংবা সূত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। তবে সব অপেক্ষককে উপরের সব রকমভাবে প্রকাশ করা যায় না। আসল অপেক্ষক ও একে কীভাবে উপস্থাপন করা হয়েছে বা কল্পনা করা হয়েছে, এ দুইয়ের মধ্যে যথেষ্ট পার্থক্য আছে।^{[তথ্যসূত্র প্রয়োজন]}

অপেক্ষকের সংযোজন

অপেক্ষকের সংযোজন (composition) সমগ্র গণিতশাস্ত্রের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ একটি ধারণা: যদি z, y এর একটি অপেক্ষক হয়, যেখানে y, x এর একটি অপেক্ষক, তবে z, x এরও একটি অপেক্ষক হবে। সাধারণভাবে বলা যায় যে, যে সংযুক্ত অপেক্ষকটি প্রথম অপেক্ষকের আউটপুটকে দ্বিতীয় অপেক্ষকের ইনপুট হিসেবে ব্যবহার করে পাওয়া যায়। অপেক্ষকের এই বৈশিষ্ট্যটি অন্যান্য গাণিতিক সংগঠন (যেমন-সংখ্যা বা আকৃতি) থেকে অপেক্ষককে স্বতন্ত্র করেছে এবং অপেক্ষকসমূহের তত্ত্বকে একটি শক্তিশালী কাঠামো প্রদান করেছে।

পরিভাষা ও উদাহরণ

গণিতে ফাংশন একটি মৌলিক ভূমিকা পালন করে। গণিতের বিমূর্ত শাখা যেমন সেট তত্ত্বে সাধারণ প্রকৃতির ফাংশন নিয়ে আলোচনা করা হয়। এই পদ্ধতিগুলো দৃঢ় নিয়মের উপর প্রতিষ্ঠিত নয় এবং পরিচিত নীতি দ্বারা পরিচালিত নয়। সর্বাধিক বিমূর্ত ক্ষেত্রে ফাংশনের পরিচিত বৈশিষ্ট্য হল এটি একটি ইনপুটের জন্য কেবল একটি আউটপুট দেয়। এমন ফাংশনের জন্য সংখ্যার প্রয়োজন হয় না এবং কোন শব্দের প্রথম অক্ষরও এক্ষেত্রে গ্রহণীয় হতে পারে। বীজগাণিতিক অপারেশনের পরিভাষার মাধ্যমে বীজগণিতে ব্যবহৃত ফাংশনের ব্যাখ্যা দেয়া সম্ভব।

বিভিন্ন প্রকার অপেক্ষকের নাম:

১. সার্বিক ফাংশন ২. এক-এক ফাংশন ৩. সার্বিক ও এক-এক ফাংশন ৪. বিপরীত ফাংশন ৫. অভেদ ফাংশন ৬. ধ্রুবক ফাংশন ৭. সংযোজিত ফাংশন ৮. বহুপদী ফাংশন ৯. মূলদীয় ফাংশন ১০. যোগাশ্রয়ী ফাংশন ১১. দ্বিঘাত ফাংশন ১২. ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ১৩. পর্যাবৃত্ত ফাংশন ১৪. বৃত্তীয় ফাংশন ১৫. বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশন ১৬. যুগ্ম ফাংশন ১৭. অযুগ্ম ফাংশন ১৮. সূচকীয় ফাংশন ১৯. লগারিদমিক ফাংশন

January 8, 2023
অপারেন্ড
অপারেন্ড (operand) হলো কোনো গাণিতিক প্রক্রিয়ার (operation) উপাদান। অপারেন্ডকে বলা যায়, এটা হচ্ছে সেই বস্তু বা উপাদান কিংবা রাশি যার ওপর গাণিতিক প্রক্রিয়া চালানো হয়।^[১]

উদাহরণ

নিচের পাটিগণিতীয় রাশিটিতে অপারেটর ও অপারেন্ড-এর একটি উদাহরণ দেখানো হয়েছে: 3 + 6 = 9 $3+6=9$

উপরের এই উদাহরণটিতে ‘+’ চিহ্নটি যোগ নামক গাণিতিক প্রক্রিয়ার জন্য ব্যবহৃত করা হয়েছে।

এখানে অপারেন্ড 3 হচ্ছে যোগ অপারেটরের অনুসরণকারী একটি ইনপুট এবং অপারেন্ড 6 হচ্ছে অপর আরেকটি ইনপুট যা গাণিতিক প্রক্রিয়াটির জন্য আবশ্যক।

এই গাণিতিক প্রক্রিয়াটির ফলাফল হলো 9, যাকে যোজ্য 3 ও যোজক 6-এর যোগফল বা সমষ্টিও বলা হয়।

একইভাবে নিচের উদাহরণটি দেখা যাক: 25 = 5 ${\sqrt {25}}=5$

বর্গমূল নামক এই গাণিতিক প্রক্রিয়ায় অপারেন্ড হলো 25, যা এই গাণিতিক প্রক্রিয়াটির ইনপুট।

সুতরাং, অপারেন্ডকে “কোনো অপারেশন বা গাণিতিক প্রক্রিয়ার ইনপুট” হিসেবেও উল্লেখ করা যায়।

অপারেন্ড লেখার নিয়ম

রাশিমালার আকারে অপারেন্ড

অপারেন্ড জটিল আকারেরও হতে পারে। এমনকি অপারেন্ড ও অপারেটরের সমন্বয়ে গঠিত একটি রাশিমালাও অন্য আরেকটি গাণিতিক প্রক্রিয়ার অপারেন্ড হতে পারে। ( 3 + 5 ) × 2 $(3+5)\times 2$

উপরের রাশিমালায় গুণ নামক গাণিতিক প্রক্রিয়াটির প্রথম অপারেন্ড হলো ‘(3 + 5)’ এবং ‘2’ হলো এর দ্বিতীয় অপারেন্ড। এখানে, ‘(3 + 5)’ অপারেন্ডটি নিজেই একটি রাশিমালা, যা ‘3’ এবং ‘5’ অপারেন্ডসহ একটি যোগ অপারেটরের সমন্বয়ে গঠিত হয়েছে।

গাণিতিক প্রক্রিয়ার ক্রম

আরও দেখুন: গাণিতিক প্রক্রিয়ার ক্রম

কোন অপারেন্ডের জন্য কোন অপারেটর কিংবা কোন অপারেটরের জন্য কোন অপারেন্ড তার মূল্যায়ন নির্ভর করে গাণিতিক প্রক্রিয়ার ধারাবাহিকতার বা ক্রমের নিয়মাবলির ওপর।^[২] 3 + 5 × 2 $3+5\times 2$

উপরের রাশিমালায়, যোগ অপাটেরটি অপেক্ষা গুণ অপারেটরটির অগ্রাধিকার রয়েছে। তাই, এখানে গুণ অপারেটরটির অপারেন্ড হলো ‘5’ এবং ‘2’। পক্ষান্তরে, যোগ অপারেটরটির অপারেন্ড হলো ‘3’ এবং ‘5 × 2’

রাশিমালায় অপারেন্ডের অবস্থান

কোনো অপারেটরের অপারেন্ডের (অথবা অপারেন্ডগুলোর) সাপেক্ষে অপারেটরটির অবস্থানের পরিবর্তন ঘটতে পারে, যে পরিবর্তন নির্ভর করে কোন কোন গাণিতিক প্রতীক-চিহ্নাদি ব্যবহার করা হচ্ছে তার ওপর। দৈনন্দিন ব্যবহারের ক্ষেত্রে ইনফিক্স নোটেশন সর্বাধিক চোখে পড়ে এবং আমরা মূলত এই নোটেশনের মাধ্যমে লেখা রাশিমালাতেই অভ্যস্ত।^[৩]। তথাপি, প্রিফিক্স নোটেশন ও পোস্টফিক্স নোটেশনের মতো আরও কয়েকটি নোটেশনের অস্তিত্ব রয়েছে। এই বিকল্প নোটেশনগুলো কম্পিউটার বিজ্ঞানে বহুল ব্যবহৃত।

নিচে তিনটি ভিন্ন ভিন্ন নোটেশনের তুলনা দেখানো হলো, যেখানে সকল ক্ষেত্রেই ‘1’ এবং ‘2’ এর যোগকে উপস্থাপন করা হয়েছে: 1 + 2 $1+2$ (ইনফিক্স নোটেশন) + 1 2 $+\;1\;2$ (প্রিফিক্স নোটেশন) 1 2 + $1\;2\;+$ (পোস্টফিক্স নোটেশন)

ইনফিক্স নোটেশন এবং গাণিতিক প্রক্রিয়ার ক্রম

মূল নিবন্ধ: গাণিতিক প্রক্রিয়ার ক্রম

গাণিতিক রাশিমালার ক্ষেত্রে গাণিতিক প্রক্রিয়ার ক্রমকে বাম দিক থেকে ডান দিকে নির্বাহ করা হয়। রাশিমালার সর্ববাম থেকে শুরু করতে হয় এবং গাণিতিক প্রক্রিয়া ক্রম (যা বন্ধনী দিয়ে শুরু হয়ে যোগ/বিয়োগ দিয়ে শেষ হয়) অনুসারে রাশিমালার প্রথম গাণিতিক প্রক্রিয়াটি (অপারেশন) বের করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, এই রাশিমালাটি দেখা যাক, 4 × 2 2 − ( 2 + 2 2 ) $4\times 2^{2}-(2+2^{2})$

এখানে, প্রথম গাণিতিক প্রক্রিয়াটি নির্বাহ করতে হবে বন্ধনীর মধ্যে এবং এটি করতে হবে বন্ধনীর মধ্যে এক বা একাধিক যে রাশিমালাই পাওয়া যাক না কেন সেগুলোর প্রতিটির ওপর। সুতরাং, বাম থেকে শুরু করে ক্রমশ ডান দিকে অগ্রসর হয়ে প্রথম বন্ধনীটি (এই রাশিমালায় কেবল একটি বন্ধনীই ব্যবহার করা হয়েছে) বের করতে হবে। আর তা হলো: (2 + 2²)। বন্ধনীর মধ্যে থাকা 2² নিজেই একটি রাশিমালা। পরবর্তী ধাপে যাওয়ার পূর্বেই 2²-এর মান বের করতে হবে। 2²-এর মান হলো 4। এই মানটি বের করার পর আমরা যে রাশিমালাটি পাব, তা দেখতে নিম্নরূপ হবে: 4 × 2 2 − ( 2 + 4 ) $4\times 2^{2}-(2+4)$

পরবর্তী ধাপে, স্বয়ং বন্ধনীর ভেতর থাকা রাশিমালাটির মান বের করতে হবে। তা হলো (2 + 4) = 6। এবার যে রাশিমালাটি পাব তা হবে: 4 × 2 2 − 6 $4\times 2^{2}-6$

রাশিমালার বন্ধনী অংশের হিসাব করার পর পুনরায় সর্ববাম থেকে শুরু করে ক্রমান্বয়ে ডানে যেতে হবে। নিয়ম মোতাবেক পরবর্তী গাণিতিক প্রক্রিয়াটি হচ্ছে সূচক। এই রাশিমালাটির (এই অনুচ্ছেদের উপরের) সর্ববামে যে সংখ্যাটি পাওয়া যায় তা হলো 4, এরপর সূচকের সন্ধানে ডানে গেলে রাশিমালাটির অন্তর্গত আরেকটি (এক্ষেত্রে কেবল একটিই) রাশিমালার দেখা পাওয়া যায়, যাকে আবার একটি সূচক সহকারে প্রকাশ করা হয়েছে। আর সূচকযুক্ত এই রাশিমালাটি হলো 2²। এখন, 2²-এর যে মান আমরা পাব তা হলো 4। তাহলে পরবর্তীতে আমরা যে রাশিমালাটি পাচ্ছি তা হবে: 4 × 4 − 6 $4\times 4-6$ .

গাণিতিক প্রক্রিয়ার পরবর্তী ধাপটি হলো গুণ। এখানে 4 × 4 হবো 16। তাহলে রাশিমালাটি এবার দেখতে নিম্নরূপ হবে: 16 − 6 $16-6$

গাণিতিক প্রক্রিয়ার ক্রমানুসারে পরবর্তী ধাপটি হলো ভাগ। কিন্তু, 16 − 6 রাশিমালায় ভাগ অপারেটরের কোনো চিহ্ন (÷) না থাকায় পরবর্তী ধাপগুলোতে অগ্রসর হতে হবে; পরবর্তী ধাপগুলো হচ্ছে যোগ ও বিয়োগ এবং এদের ক্ষেত্রেও বাম থেকে ডানে ধারাবাহিকতা মেনে চলতে হবে। 16 − 6 = 10 $16-6=10$ .

সুতরাং, মূল রাশিমালাটির অর্থাৎ (4 × 2² − (2 + 2²) এর মান হচ্ছে 10।

প্রতিষ্ঠিত রীতির মাধ্যমে নির্ধারণকৃত নিয়মাবলি অনুসারে গাণিতিক প্রক্রিয়ার ধারাবাহিকতা মেনে চলা এবং তদনুসারে তা নির্বাহ করা অত্যাবশ্যক ও গুরুত্বপূর্ণ। কোনো রাশিমালার মান নির্ণয় করতে গিয়ে যদি গাণিতিক প্রক্রিয়ার সঠিক ধারাবাহিকতা মেনে চলা না হয়, তাহলে ভিন্ন একটি মানের সম্মুখীন হতে হবে। পৃথক ঐ মানটি হবে ভুল মান বা ভুল উত্তর, কারণ এতে গাণিতিক প্রক্রিয়ার সঠিক ক্রম বা ধারাবাহিকতা মেনে চলা হয়নি। কোনো রাশিমালার প্রকৃত বা নির্ভুল মান তখনই পাওয়া যাবে, যদি এবং কেবল যদি রাশিমালাটির অন্তর্গত প্রতিটি গাণিতিক প্রক্রিয়া সঠিক ক্রমানুসারে সম্পন্ন করা হয়।

অ্যারিটি

আরও দেখুন: অ্যারিটি

একটি অপারেটর যতসংখ্যক অপারেন্ড ধারণ করে সেই সংখ্যাই ঐ অপারেটরের অ্যারিটি। অ্যারিটি হলো একটি গাণিতিক প্রক্রিয়ার জন্য অত্যাবশ্যকীয় ন্যূনতম আর্গুমেন্ট বা অপারেন্ডের সংখ্যা।^[৪] অ্যারিটির ভিত্তিতে অপারেটরগুলোকে মূলত nullary (অপারেন্ড অনুপস্থিত), unary (১টি অপারেন্ড), binary (২টি অপারেন্ড), ternary (৩টি অপারেন্ড)-এ শ্রেণিবিন্যস্ত করা হয়। উচ্চতর অ্যারিটিগুলোকে নির্দিষ্ট পদের মাধ্যমে খুব কমই নামকরণ করা হয়। আর যেহেতু ফাংশন কম্পোজিশন বা কারিকরণের (Haskell Curry প্রবর্তিত কৌশলবিশেষ) মাধ্যমে উচ্চতর অ্যারিটিগুলোকে এড়ানো সম্ভব, সে কারণেও এদের নামকরণ খুব একটা করা হয় না। অ্যারিটির জন্য অন্যান্য যেসব পদ বা পরিভাষা ব্যবহার করা হয় সেগুলোর কয়েকটি নিম্নরূপ (বন্ধনীর মধ্যে আবদ্ধ সংখ্যা অপারেন্ডের সংখ্যা নির্দেশ করছে):
- quaternary, tetranary (৪)
- quinary, quintenary, quinquennary (৫)
- hexanary, senary, sexenary (৬)
- septenary (৭)
- octonary (৮)
- nonary, novenary (৯)
- denary (১০)
- undenary (১১)
- duodenary (১২)
- tridecennary (১৩)
- quindenary (১৫)
- vigenary (২০)
- quadringenary (৪০)
- quinquagenary (৫০)
- sexagenary (৬০)
- septuagenary (৭০)
- octogenary (৮০)
- nonagenary (৯০)
- centenary (১০০)
- sesquicentenary (১৫০)
- bicentenary (২০০)
- tercentenary, tricentenary (৩০০)
- quadringentenary, quatercentenary (৪০০)
- quincentenary (৫০০)
- sexcentenary (৬০০)
- septcentenary (৭০০)
- octocentenary (৮০০)
কম্পিউটার বিজ্ঞান

কম্পিউটারের প্রোগ্রামিং ভাষার অপারেটর এবং অপারেন্ড-এর সংজ্ঞা প্রায় গণিতের সংজ্ঞারই অনুরূপ।

কম্পিউটিংয়ের ক্ষেত্রে, অপারেন্ড হলো কম্পিউটারের নির্দেশমালার সেই অংশ, যা নির্ধারণ করে দেয় কোন উপাত্তটি ম্যানুপিউলেটেড বা অপারেটেড হবে, যেখানে একই সময়ে এটি (অপারেন্ডটি) স্বয়ং সেই উপাত্তের প্রতিনিধিত্ব করবে।^[৫] কম্পিউটারের একটি নির্দেশনায় যেখানে X-এর যোগের অথবা গুণের কথা বলা হয়, সেখানে অপারেন্ড (অথবা অপারেন্ডগুলো, যেহেতু একাধিক অপারেন্ডের উপস্থিতি সম্ভব) নির্ধারণ করে দেয় কোন X-টিকে এর (X-এর) মান দিয়ে অপারেট করা হবে।

উপরন্তু, কম্পিউটারের অ্যাসেম্বলি ভাষায় অপারেন্ড হলো একটি মান (আর্গুমেন্ট), যার ওপর কম্পিউটারের নির্দেশনা (instruction) পরিচালিত বা অপারেট হয়, যেখানে এই নির্দেশনা নেমনিকের মাধ্যমে নামাঙ্কিত। কম্পিউটারের ক্ষেত্রে অপারেন্ড হতে পারে একটি প্রসেসর রেজিস্টার, এটি হতে পারে একটি মেমোরি অ্যাড্রেস কিংবা এটি হতে পারে একটি লেবেল। x86 ইনস্ট্রাকশন সেট আর্কিটেকচারে অপারেন্ডের একটি সহজ উদাহরণ হচ্ছে:
```
MOV DS, AX
```
এখানে, রেজিস্টার অপারেন্ড AX এর মানকে (value) রেজিস্টার DS এর মধ্যে স্থানান্তর বা move (MOV) করতে হবে। ইনস্ট্রাকশন সেট আর্কিটেকচার অনুসারে শূন্য সংখ্যক, একটি, দুইটি অথবা ততোধিক অপারেন্ড থাকা সম্ভব।
January 8, 2023
ব্যবহারকারী:Nokib Sarkar/মূল (গণিত)
সমাধান (গণিত)” শিরোনামকে এখানে পুনর্নির্দেশ করা হয়েছে। কোনো সীমাবদ্ধতা সমাধানের জন্য সীমাবদ্ধতা অতিক্রম সমস্যা § সমাধান দেখুন। গাণিতিক অনুকূলীকরণ সমস্যার সমাধান জন্য অনূকূল সমাধান দেখুন।

f ( x ) = 0 $f(x)=0$ সমীকরণটি সমাধান কিংবা f ফাংশনের (যেখানে f হল অংকিত ফাংশন) মূল বের করার জন্য নিউটন-র‍্যাফসন পদ্ধতির উদাহরণ।

x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a ${\overset {}{\underset {}{x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}$

দ্বিঘাত সমাধান, দ্বিঘাত সমীকরণax²+bx+c=0 সমাধানের প্রতীকী সমাধান। a,b,c সহগসমূহের জানা মান বসিয়ে এবং মূল্যায়ন করে সমীকরণটির সাংখ্যিক মান পাওয়া যায়।

In mathematics, to solve an equation is to find its solutions, which are the values (numbers, functions, sets, etc.) that fulfill the condition stated by the equation, consisting generally of two expressions related by an equality sign. When seeking a solution, one or more free variables are designated as unknowns. A solution is an assignment of expressions to the unknown variables that makes the equality in the equation true. In other words, a solution is an expression or a collection of expressions (one for each unknown) such that, when substituted for the unknowns, the equation becomes an identity. A solution of an equation is often also called a root of the equation, particularly but not only for algebraic or numerical equations.

A problem of solving an equation may be numeric or symbolic. Solving an equation numerically means that only numbers represented explicitly as numerals (not as an expression involving variables), are admitted as solutions. Solving an equation symbolically means that expressions that may contain known variables or possibly also variables not in the original equation are admitted as solutions.

For example, the equation x + y = 2x – 1 is solved for the unknown x by the solution x = y + 1, because substituting y + 1 for x in the equation results in (y + 1) + y = 2(y + 1) – 1, a true statement. It is also possible to take the variable y to be the unknown, and then the equation is solved by y = x – 1. Or x and y can both be treated as unknowns, and then there are many solutions to the equation. (x, y) = (a + 1, a) is a symbolic solution. Instantiating a symbolic solution with specific numbers always gives a numerical solution; for example, a = 0 gives (x, y) = (1, 0) (that is, x = 1 and y = 0) and a = 1 gives (x, y) = (2, 1). Note that the distinction between known variables and unknown variables is made in the statement of the problem, rather than the equation. However, in some areas of mathematics the convention is to reserve some variables as known and others as unknown. When writing polynomials, the coefficients are usually taken to be known and the indeterminates to be unknown, but depending on the problem, all variables may assume either role.

Depending on the problem, the task may be to find any solution (finding a single solution is enough) or all solutions. The set of all solutions is called the solution set. In the example above, the solution (x, y) = (a + 1, a) is also a parametrization of the solution set with the parameter being a. It is also possible that the task is to find a solution, among possibly many, that is best in some respect; problems of that nature are called optimization problems; solving an optimization problem is generally not referred to as “equation solving”.

A wording such as “an equation in x and y“, or “solve for x and y“, implies that the unknowns are as indicated: in these cases x and y.

বিষয়শ্রেণীসমূহ:
January 8, 2023
মেয়ার-ভিয়েটারস ক্রম
বিশেষ করে বীজগাণিতিক টপোলজি এবং সমসংস্থ তত্ত্বে, মেয়ার-ভিটারস ক্রম বা ম্যায়ের-ভিয়েতরিস ধারা হল একটি বীজগাণিতিক সরঞ্জাম, যা টপোগাণিতিক ক্ষেত্রের সমসংস্থ এবং সহ-সমসংস্থ হিসেবে পরিচিত বীজগাণিতিক ইনভ্যারিয়েন্টসমূহ হিসাব করতে সাহায্য করে। অষ্ট্রিয়ার গণিতবিদ ওয়ালথার মেয়ার এবং লেপল্ড ভিয়েটরিস নামক বিজ্ঞানীদ্বয় এটি আবিষ্কার করেন। এই পদ্ধতিতে একটি ক্ষেত্রকে বিভিন্ন উপক্ষেত্রে বিভক্ত করা হয়, যাতে সমসংস্থ এবং সহসমসংস্থ গ্রুপগুলো পরিমাপ করা সহজ হয়। এই ধারাটি মূল ক্ষেত্রটির (সহ)সমসংস্থ গ্রুপগুলোর সঙ্গে উপক্ষেত্রগুলোর (সহি)সমসংস্থ গ্রুপের সম্পর্ক তৈরী করে। এটি এক ধরনের স্বাভাবিক দীর্ঘ শৃঙখলিত ধারা, যার পদগুলো সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের (সহ)সমসংস্থ গ্রুপ,উপক্ষেত্রের গ্রুপগুলোর প্রত্যক্ষ সমষ্টি এবং উপক্ষেত্রসমূহের ছেদসেটের (সহ)সমসংস্থ গ্রুপ।

মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারা সরল সমসংস্থ এবং অদ্বৈত সমসংস্থসহ সমসংস্থ তত্ত্ব এবং সহসমসংস্থ তত্ত্বের অনেক প্রকারভেদ কে ধারণ করে। সাধারণভাবে এই ধারাটি এলিয়েনবার্গ-স্টিনরোড স্বতঃসিদ্ধসমূহকে সিদ্ধকারী তত্ত্বসমূহকে ধারণ করে এবং এতে হ্রাসকৃত এবং আপেক্ষিক (সহ)সমসংস্থ সহ অনেক প্রকারভেদ রয়েছে। বেশিরভাগ ক্ষেত্রের (সহ)সমসংস্থ গ্রুপ গুলো সরাসরি তাদের সংজ্ঞায়ন থেকে পরিমাপ করা না যাওয়ার কারণে ম্যায়ের-ভিয়েটরিস ধারা ব্যবহারের মাধ্যমে তা সম্পর্কে আংশিক তথ্য পাওয়া যায়।

টপোগণিতের অনেক ক্ষেত্র খুবই সরল কিছু ক্ষেত্রের সমন্বয়ে গঠিত হয়েছে। দুটি আচ্ছাদিত উপক্ষেত্র এবং তাদের ছেদাংশ এমনভাবে নির্বাচন, যাতে সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের তুলনায় তাদের (সহ)সমসংস্থ গ্রুপগুলো সরল হয়, করার মাধ্যমে (সহ)সমসংস্থ হ্রাস করা যায়। সে ক্ষেত্রে এ ধারাটি মৌলিক গ্রুপের জন্য সাফাঁর ভ্যান ক্যাম্পেঁ তত্ত্ব এর সমার্থক এবং এক মাত্রার সম সংস্থের সঙ্গে স্পষ্ট সম্পর্ক বিদ্যমান।

পটভূমি , অগ্রগতি এবং ইতিহাস

১১০তম জন্মদিনে Leopold Vietoris

একটি স্থানের সমটপো গ্রুপ অথবা মৌলিক গ্রুপের মত সমসংস্থ গ্রুপ গুলো টপোগানিতিক স্থিরতায় গুরুত্বপূর্ণ। যদিও কিছু (সহ)সমসংস্থ তত্ত্ব রৈখিক বীজগণিতের সাহায্যে পরিমাপ যোগ্য, তবুও অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ (সহ)সমসংস্থ তত্ত্ব বিশেষ করে অদ্বৈত সমসংস্থ তত্ত্ব অশূন্য ক্ষেত্রের জন্য প্রদত্ত সংজ্ঞা হতে সরাসরি পরিমাপ যোগ্য নয়। অদ্বৈত (সহ)সমসংস্থ তত্ত্বের ক্ষেত্রে অদ্বৈত (সহ)শৃংখল এবং (সহ)চক্র গ্রুপগুলো সরাসরি ব্যবস্থাপনা প্রায়ই ব্যাপক কঠিন হয়ে পড়ে। তখন আরও দক্ষ এবং পরোক্ষ পদ্ধতির প্রয়োজন পড়ে। মেয়ার ভিয়েটারিস এমনই একটি ধারা যা কোনো ক্ষেত্রের (সহ)সমসংস্থ গ্রুপগুলোর উপক্ষেত্রের মধ্যকার সম্পর্ক এবং তাদের ছেদাংশ সম্পর্কে আংশিক তথ্য প্রদান করে।

এসব সম্পর্ককে উপস্থাপনের সবচেয়ে প্রাকৃতিক এবং চলমান পদ্ধতি হল শৃঙখলিত ধারার বীজগাণিতিক ধারণা: কিছু বস্তু (এক্ষেত্রে গ্রুপ) এবং তাদের মাঝে এমনভাবে রূপতাসমূহ (এক্ষেত্রে গ্রুপ সমরূপতা) বিদ্যমান থাকে যেন, একটির প্রতিবিম্ব পরবর্তীটির প্রাকপ্রতিবিম্ব হয়। সাধারণভাবে, এটি কোনও স্থানের (সহ)সমসংস্থ গ্রুপগুলোকে পুরোপুরি পরিমাপ করতে দেয় না। তবে টপোগণিতে ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র প্যাচ দ্বারা তৈরী বিভিন্ন ক্ষেত্র যেমন, টপোগাণিতিক বহুধা, সিমপ্লিসিয়াল কমপ্লেক্স, অথবা সিডব্লিউ কমপ্লেক্স ইত্যাদি থাকায়, মেয়ার-ভেয়েটরিসের তত্ত্বের মতো তত্ত্বগুলো অনেকটাই প্রশস্ত এবং গভীরভাবে প্রযোজ্য।

১৯২৬ ও ১৯২৭ সালে ভিয়েনার একটি স্থানীয় বিশ্ববিদ্যালয়ে বক্তৃতা দেওয়ার সময় তার সহকর্মী ভিয়েটরিস মেয়ারকে টপোগণিতের সঙ্গে পরিচয় করিয়ে দেন।^[১] তাকে বেটি সংখ্যা সম্পর্কে অনুমিত ফলাফল ও সমাধানের পথ সম্পর্কে জানানো হয়েছিলো এবং ১৯২৯ সালে তিনি তা সমাধান করেন। ^[২] তোরাসকে দুটি বেলনের সংযোগ বিবেচনা করে তিনি তার ফলাফলগুলো প্রয়োগ করেন। ^[৩]^[৪] ভিয়েটরিস পরবর্তীতে হাজার ১৯৩০ সালে ফলাফলগুলোকে সমসংস্থ গ্রুপের জন্য সম্পূর্ণ প্রমাণ করেন কিন্তু শৃঙ্খলিত ধারা হিসেবে তা প্রকাশ করেননি।^[৫] শৃঙ্খলিত ধারার ধারণাটি সর্বপ্রথমস্যামুয়েল এলিয়েনবার্গ এবং নর্মান স্টিনরোড এর লেখা ১৯৫২ সালের বই Foundations of Algebraic Topologyতে প্রথম পাওয়া যায়। ^[৬] যেখানে মেয়ার এবং ভিয়েটরিস এর ফলাফলগুলো আধুনিকভাবে প্রকাশিত হয়। ^[৭]

অদ্বৈত সমসংস্থের জন্য মৌলিক সংস্করণ

ধরি, X একটি টপোগাণিতিক জগত এবং A, B দুটো উপজগৎ যাদের অন্তর্ভাগসমূহ X কে আচ্ছাদিত করে। (A এবং B এর অন্তর্ভাগ নিশ্ছেদ হওয়া অনাবশ্যক)

(X, A, B) ত্রয়ীর জন্য অদ্বৈত সমসংস্থ গ্রুপের মেয়ার-ভিয়েতরিস ক্রমটি একটি দীর্ঘ শৃঙখলিত ধারা, যা X, A, B, এবং ছেদসেট A∩B এর অদ্বৈত সমসংস্থ গ্রুপসমূহের (পূর্ণসংখ্যার গ্রুপ Z কে সহগ গ্রুপ হিসেবে রেখে) মাঝে সম্পর্ক সৃষ্টি করে। ^[৮] এর একটি অহ্রাসকৃত সংস্করণ এবং একটি হ্রাসকৃত সংস্করণ রয়েছে।

অহ্রাসকৃত সংস্করণ

অহ্রাসকৃত সমসংস্থের ক্ষেত্রে, মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারা অনুযায়ী নিম্নলিখিত সম্পর্কটি শৃঙখলিত:^[৯] ⋯ → H n + 1 ( X ) → ∂ ∗ H n ( A ∩ B ) → ( i ∗ , j ∗ ) H n ( A ) ⊕ H n ( B ) → k ∗ − l ∗ H n ( X ) → ∂ ∗ H n − 1 ( A ∩ B ) → ⋯ → H 0 ( A ) ⊕ H 0 ( B ) → k ∗ − l ∗ H 0 ( X ) → 0. $\cdots \to H_{n+1}(X)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B)\to \cdots \to H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\to 0.$

এখানে i : A∩B ↪ A, j : A∩B ↪ B, k : A ↪ X, এবং l : B ↪ X হল অন্তর্ভুক্তি মানচিত্র এবং ⊕ $\oplus$ আবেলীয় গ্রুপসমূহের প্রত্যক্ষ সমষ্টি নির্দেশ করে।

সীমানা মানচিত্র

টোরাসের উপর ∂_∗ এর সীমানাচিত্র । ১-চক্র x = u + v হল A এবং B এর ছেদাংশে অবস্থিত দুটি ১-শৃঙখলের সমষ্টি

সীমানাচিত্র ∂_∗ এর মাত্রা হ্রাসকরণ নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়।^[১০] H_n(X) এর একটি উপাদান n-চক্রের সমসংস্থ শ্রেণী x, যা, উদাহরণস্বরূপ ভরকেন্দ্রিক উপবিভাজন দ্বারা, দুটি n-শৃঙখল u এবং v এর সমষ্টি আকারে লেখা যেতে পারে, যাদের প্রতিবিম্বগুলো যথাক্রমে A এবং B তে অবস্থিত। ফলে ∂x = ∂(u + v) = 0 যেন ∂u = −∂v। এ থেকে বুঝা যায় যে, ছেদাংশ A∩B কে এসব (n − 1)- শৃংখল সীমানার প্রতিবিম্বসমূহ অবস্থিত। অতঃপর ∂_∗([x]) কে H_n−1(A∩B) তে অবস্থিত ∂u এর শ্রেণী হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় অন্য আরেকটি decomposition x = u′ + v′ নির্বাচন [∂u] কে প্রভাবিত করে না, কারণ ∂u + ∂v = ∂x = ∂u′ + ∂v′, যা থেকে বোঝা যায় ∂u − ∂u′ = ∂(v′ − v), এবং তার ফলে ∂u এবং ∂u′ একই সমসংস্থ শ্রেণীতে অবস্থান করে ; অথবা ভিন্ন কোনো প্রতিনিধি x′ নির্বাচনের মাধ্যমেও নয় কারণ ∂x′ = ∂x = 0। লক্ষ্য করি যে, মেয়ার-ভিয়েটারিস ধারার মানচিত্র A এবং B এর ক্রমের উপর নির্ভর করে। সুনির্দিষ্টভাবে, সীমানাচিত্র চিহ্ন পরিবর্তন করে যদি A এবং B পারস্পরিক পরিবর্তিত হয়।

হ্রাসকৃত সংস্করণ

হ্রাসকৃত সমসংস্থের জন্যও A ∩ B ≠ ∅ $A\cap B\neq \emptyset$ স্বীকার্য ধরে একটি মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারা রয়েছে। ^[১১] এই ধারাটি ধনাত্মক মাত্রার সঙ্গে অভিন্ন এবং শেষাংশ নিম্নরূপ: ⋯ → H ~ 0 ( A ∩ B ) → ( i ∗ , j ∗ ) H ~ 0 ( A ) ⊕ H ~ 0 ( B ) → k ∗ − l ∗ H ~ 0 ( X ) → 0. $\cdots \to {\tilde {H}}_{0}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,{\tilde {H}}_{0}(A)\oplus {\tilde {H}}_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,{\tilde {H}}_{0}(X)\to 0.$

সেফাঁর-ভ্যান কাম্পেঁ তত্ত্বের সঙ্গে সাদৃশ্য

মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারা (বিশেষ করে একমাত্রিক সমসংস্থ গ্রুপের জন্য) এবং সেফাঁর-ভ্যান কাম্পেঁ তত্ত্বের সঙ্গে সাদৃশ্য রয়েছে।^[১০]^[১২] যখনই A ∩ B $A\cap B$ পথ-সংযুক্ত হয়, হ্রাসকৃত মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারাটি নিম্নোক্ত ধ্রুবরূপতা প্রদান করে H 1 ( X ) ≅ ( H 1 ( A ) ⊕ H 1 ( B ) ) / Ker ( k ∗ − l ∗ ) $H_{1}(X)\cong (H_{1}(A)\oplus H_{1}(B))/{\text{Ker}}(k_{*}-l_{*})$

যেখানে, শৃঙখলতা অনুসারে, Ker ( k ∗ − l ∗ ) ≅ Im ( i ∗ , j ∗ ) . ${\text{Ker}}(k_{*}-l_{*})\cong {\text{Im}}(i_{*},j_{*}).$

এটি নিঁখুতভাবে সেফাঁ্র ভ্যান কাম্পেঁ তত্ত্বের আবেলীয়কৃত রূপ। একে মৌলিক গ্রুপ π 1 ( X ) $\pi _{1}(X)$ (যেখানে X $X$ পথ-সংযুক্ত) এর আবেলীয় রূপ H 1 ( X ) $H_{1}(X)$ এর সঙ্গে তুলনা করা যেতে পারে।^[১৩]

মৌলিক প্রয়োগ

k-গোলক

X = S² এর বিশ্লেষণ

k-গোলক X = S^k এর সমসংস্থতা সম্পূর্ণভাবে নির্ণয় করতে, ধরি A এবং B, একটি (k − 1)-মাত্রিক নিরক্ষীয় গোলকের সমান ছেদাংশ বিশিষ্ট X এর দুটি অর্ধগোলক। S যেহেতুk-মাত্রিক অর্ধ গোলক এবং ক-চাকতিসমূহ পারস্পরিক রূপান্তরযোগ্য এবং সংকোচনযোগ্য, A এবং B এর সমসংস্থ গ্রুপ এক উপাদানবিশিষ্ট। ফলে, ⋯ ⟶ 0 ⟶ H ~ n ( S k ) → ∂ ∗ H ~ n − 1 ( S k − 1 ) ⟶ 0 ⟶ ⋯ $\cdots \longrightarrow 0\longrightarrow {\tilde {H}}_{n}\!\left(S^{k}\right)\,{\xrightarrow {\overset {}{\partial _{*}}}}\,{\tilde {H}}_{n-1}\!\left(S^{k-1}\right)\longrightarrow 0\longrightarrow \cdots$

এর ফলে শৃঙ্খলতা দ্বারা বোঝা যায় যে, ∂_* মানচিত্রটি সমরূপ। সমসংস্থ গ্রুপের জন্য ০-গোলক (দুটি বিন্দু) কে ব্যবহার করে গাণিতিক আরোহ বিধি অনুসারে ^[১৪] H ~ n ( S k ) ≅ δ k n Z = { Z if n = k 0 if n ≠ k ${\tilde {H}}_{n}\!\left(S^{k}\right)\cong \delta _{kn}\,\mathbb {Z} ={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\mbox{if }}n=k\\0&{\mbox{if }}n\neq k\end{cases}}$ যেখানে δ Kronecker delta। গোলকের জন্য সমসংস্থ গ্রুপগুলো সম্পূর্ণরূপে বোঝার বিষয়টি সমটপো গ্রুপের বর্তমান জ্ঞানের সাথে বিচ্ছিন্ন, বিশেষ করে n > k k}”> এর ক্ষেত্রে যা প্রায় অজানা^[১৫]

ক্লেন বোতল

ক্লেন বোতল (যথোপযুক্ত ধার শনাক্তকরণসহ মৌলিক বহুভুজ) A (নীল) এবং B (লাল) রেখাচিত্রে বিশ্লেষিত

মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারার সামান্য জটিল প্রয়োগ হলো ক্লেন বোতল X এর সমসংস্থ গ্রুপগুলো পরিমাপ করা। একটি উপায় হল এমনভাবে X এর রেখা বিশ্লেষণ করা, যেন দুটি মৌবিয়াস রেখা A এবং B এর সংযোগ তাদের সীমানা বৃত্তের সঙ্গে যুক্ত থাকে। (ডানের চিত্র) অতঃপর A, B এবং তাদের ছেদ A∩B বৃত্ত গুলোর সঙ্গে সমটপো সদৃশ, ফলে ধারাটির অশূন্য অংশ থেকে :^[১৬] 0 → H 2 ( X ) → Z → α Z ⊕ Z → H 1 ( X ) → 0 $0\rightarrow H_{2}(X)\rightarrow \mathbb {Z} \ {\xrightarrow {\overset {}{\alpha }}}\ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \rightarrow \,H_{1}(X)\rightarrow 0$

এবং নগণ্য অংশটি দুই এর অধিক মাত্রাবিশিষ্ট সমসংস্থকে বাদ দেয়। কেন্দ্রীয় মানচিত্র α 1 কে (2, −2) এ পাঠায়, কারণ একটি মৌবিয়াস ব্যান্ডের সীমানা বৃত্ত মূল বৃত্তের চারপাশে দুইবার আবদ্ধ হয়। সুনির্দিষ্টভাবে, α এক-এক হওয়ায় দ্বিমাত্রিক সমসংস্থও অপসারিত হয়। অবশেষে, Z² এর ভিত্তি হিসেবে (1, 0) এবং (1, −1) কে নির্বাচন করলে, H ~ n ( X ) ≅ δ 1 n ( Z ⊕ Z 2 ) = { Z ⊕ Z 2 if n = 1 0 if n ≠ 1 ${\tilde {H}}_{n}\left(X\right)\cong \delta _{1n}\,(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}&{\mbox{if }}n=1\\0&{\mbox{if }}n\neq 1\end{cases}}$

কীলক সমষ্টি

দুটি ২-গোলকের কীলক সমষ্টিকে এভাবে বিশ্লেষণের ফলে K এবং L, X এর সকল সমসংস্থ গ্রুপ তৈরী করে

ধরি, দুটি ক্ষেত্র K এবং L এর কীলক সমষ্টি X ,এবং আরো মনে করি যে, চিহ্নিত ভিত্তিবিন্দু, মুক্ত নিকটবর্তিতাসমূহ, U ⊂ K এবং V ⊂ L, এর একটি বিকৃতি প্রত্যাহার। A = K∪V এবং B = U∪L ধরলে A∪B = X এবং A∩B = U∪V হয়, যা গঠনগতভাবে সংকোচনযোগ্য। ফলে, এই ধারাটির হ্রাসকৃত সংস্করণের মাধ্যমে যেকোনো মাত্রা n এর জন্য :^[১৭] H ~ n ( K ∨ L ) ≅ H ~ n ( K ) ⊕ H ~ n ( L ) ${\tilde {H}}_{n}(K\vee L)\cong {\tilde {H}}_{n}(K)\oplus {\tilde {H}}_{n}(L)$

ডানের চিত্রে X দুটি ২-গোলক K এবং L এর সমষ্টি। এই বিশেষ ক্ষেত্রে, ২-গোলকের জন্য উপরোল্লিখিত ফলাফল ব্যবহার করে, H ~ n ( S 2 ∨ S 2 ) ≅ δ 2 n ( Z ⊕ Z ) = { Z ⊕ Z if n = 2 0 if n ≠ 2 ${\tilde {H}}_{n}\left(S^{2}\vee S^{2}\right)\cong \delta _{2n}\,(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} )=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &{\mbox{if }}n=2\\0&{\mbox{if }}n\neq 2\end{matrix}}\right.$

নিলম্বন

০-গোলক Y এর নিলম্বন X বিশ্লেষণের ফলে X এর সকল সমসংস্থ গ্রুপ উৎপন্ন হয়।

যদি X একটি ক্ষেত্র Y এর নিলম্বন SY হয়, ধরি, দ্বিশঙ্কুর উপরে এবং নিচের ‘শীর্ষ’দ্বয় যথাক্রমে A এবং B, X এ পরস্পরের পূরক। তাহলে X হল সংকোচনশীল A এবং B এর সঙ্গে A∪B এর সংযোগ। পাশাপাশি, ছেদক্ষেত্র A∩B, Y এর সমটপো। ফলে, মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারা অনুযায়ী, যেকোনো n এর জন্য,^[১৮] H ~ n ( S Y ) ≅ H ~ n − 1 ( Y ) ${\tilde {H}}_{n}(SY)\cong {\tilde {H}}_{n-1}(Y)$

ডানের চিত্রটিতে ০-গোলক Y এর নিলম্বন ১-গোলক X। সাধারণভাবে লক্ষ্য করা যায় যে, k-গোলক হল (k − 1)-গোলকের নিলম্বন,যার দ্বারা আরোহ পদ্ধতিতে উপর্যুক্ত উপায়ে k-গোলকের সমসংস্থ গ্রুপসমূহকে প্রতিপাদন করা যায়।

পুনরালোচনা

আপেক্ষিক আকার

মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারার একটি আপেক্ষিক রূপও বিদ্যমান। যদি Y ⊂ X এবং C ⊂ A ও D ⊂ B এর সংযোগ সেট হয়, তবে শৃঙখলিত ধারাটি হল :^[১৯] ⋯ → H n ( A ∩ B , C ∩ D ) → ( i ∗ , j ∗ ) H n ( A , C ) ⊕ H n ( B , D ) → k ∗ − l ∗ H n ( X , Y ) → ∂ ∗ H n − 1 ( A ∩ B , C ∩ D ) → ⋯ $\cdots \to H_{n}(A\cap B,C\cap D)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A,C)\oplus H_{n}(B,D)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X,Y)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B,C\cap D)\to \cdots$

স্বাভাবিকতা

সমসংস্থ গ্রুপগুলো গুলো স্বাভাবিক এ কারণে যে, যদি f : X 1 → X 2 $f:X_{1}\to X_{2}$ একটি বিচ্ছিন্ন চিত্রাংকন হয় তবে সমসংস্থ গ্রুপ f ∗ : H k ( X 1 ) → H k ( X 2 ) $f_{*}:H_{k}(X_{1})\to H_{k}(X_{2})$ এর অনুশাসনিক অগ্রগমন রয়েছে যেন সংযোজনের অগ্রগমন এবং অগ্রগমনের সংযোজন পরস্পর সমতূল্য হয়: অর্থাৎ, ( g ∘ h ) ∗ = g ∗ ∘ h ∗ $(g\circ h)_{*}=g_{*}\circ h_{*}$ । যদি X 1 = A 1 ∪ B 1 X 2 = A 2 ∪ B 2 and f ( A 1 ) ⊂ A 2 f ( B 1 ) ⊂ B 2 ${\begin{matrix}X_{1}=A_{1}\cup B_{1}\\X_{2}=A_{2}\cup B_{2}\end{matrix}}\qquad {\text{and}}\qquad {\begin{matrix}f(A_{1})\subset A_{2}\\f(B_{1})\subset B_{2}\end{matrix}}$

হয় তবুও মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারাটি স্বাভাবিক থাকে।

তবে মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারার সংযোগকারী রূপ, ∂ ∗ , $\partial _{*},$ f ∗ $f_{*}$ এর সঙ্গে বিনিময় ঘটে।^[২০] নিম্নে বিনিময়যোগ্য চিত্রটি ^[২১] ⋯ H n + 1 ( X 1 ) ⟶ H n ( A 1 ∩ B 1 ) ⟶ H n ( A 1 ) ⊕ H n ( B 1 ) ⟶ H n ( X 1 ) ⟶ H n − 1 ( A 1 ∩ B 1 ) ⟶ ⋯ f ∗ ↓ f ∗ ↓ f ∗ ↓ f ∗ ↓ f ∗ ↓ ⋯ H n + 1 ( X 2 ) ⟶ H n ( A 2 ∩ B 2 ) ⟶ H n ( A 2 ) ⊕ H n ( B 2 ) ⟶ H n ( X 2 ) ⟶ H n − 1 ( A 2 ∩ B 2 ) ⟶ ⋯ ${\begin{matrix}\cdots &H_{n+1}(X_{1})&\longrightarrow &H_{n}(A_{1}\cap B_{1})&\longrightarrow &H_{n}(A_{1})\oplus H_{n}(B_{1})&\longrightarrow &H_{n}(X_{1})&\longrightarrow &H_{n-1}(A_{1}\cap B_{1})&\longrightarrow &\cdots \\&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }\\\cdots &H_{n+1}(X_{2})&\longrightarrow &H_{n}(A_{2}\cap B_{2})&\longrightarrow &H_{n}(A_{2})\oplus H_{n}(B_{2})&\longrightarrow &H_{n}(X_{2})&\longrightarrow &H_{n-1}(A_{2}\cap B_{2})&\longrightarrow &\cdots \\\end{matrix}}$

সহসমসাংস্থিক সংস্করণ

G গ্রুপের মাধ্যমে অদ্বৈত সমসংস্থ গ্রুপের জন্য দীর্ঘ শৃঙখলিত ধারাটি সমসংস্থ সংস্করণের সঙ্গে দ্বৈত। এটি নিম্নরূপ:^[২২] ⋯ → H n ( X ; G ) → H n ( A ; G ) ⊕ H n ( B ; G ) → H n ( A ∩ B ; G ) → H n + 1 ( X ; G ) → ⋯ $\cdots \to H^{n}(X;G)\to H^{n}(A;G)\oplus H^{n}(B;G)\to H^{n}(A\cap B;G)\to H^{n+1}(X;G)\to \cdots$

যেখানে মাত্রা সংরক্ষিত চিত্রাংকনগুলো অন্তর্ভুক্তির মাধ্যমে প্রভাবান্বিত সীমাবদ্ধ চিত্রাংকন। এ সম্পর্কিত আরেকটি রূপও রয়েছে।

গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্র হিসেবে বাস্তব সংখ্যা R এবং এর অন্তর্ভুক্ত সকল টপোগাণিতিক ক্ষেত্র সমূহের গ্রুপ G এর সুষম গুণকের গঠনটি বিদ্যমান থাকায় দ্য রাম সহসমসংস্থ তত্ত্বের জন্য মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারাটি নিম্নরূপ: ⋯ → H n ( X ) → ρ H n ( U ) ⊕ H n ( V ) → Δ H n ( U ∩ V ) → d ∗ H n + 1 ( X ) → ⋯ $\cdots \to H^{n}(X)\,{\xrightarrow {\rho }}\,H^{n}(U)\oplus H^{n}(V)\,{\xrightarrow {\Delta }}\,H^{n}(U\cap V)\,{\xrightarrow {d^{*}}}\,H^{n+1}(X)\to \cdots$

যেখানে X, ρ এর মুক্ত আচ্ছাদন {U, V} সীমাবদ্ধ চিত্রাঙ্কন এবং Δ পার্থক্যকে নির্দেশ করে। উপরোল্লিখিত চিত্রাঙ্কন ∂ ∗ $\partial _{*}$ এর মতোই d ∗ $d^{*}$ চিত্রাংকনটি সংজ্ঞায়িত। একে নিম্নোক্তভাবে প্রকাশ করা যায়। U∩V এর মধ্যে বদ্ধ অন্তরজ ω দ্বারা প্রকাশিত কোন সহসমসংস্থ শ্রেণী [ω] এর জন্য , ω কে ঐক্যবিভক্তির অধীনে মুক্ত আচ্ছাদন {U, V} এর মাধ্যমে ω U − ω V $\omega _{U}-\omega _{V}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। বহিঃস্থ অন্তরজ dω_U এবং dω_V উভয়ে U∩V কে সিদ্ধ করে এবং সুতরাং, একইসঙ্গে X এ একটি n + 1 আকারের σ কে সংজ্ঞায়িত করে। এর ফলে d^∗([ω]) = [σ] পাওয়া যায়।

প্রতিপাদন

শৃঙখল গ্রুপের ক্ষুদ্র শৃঙখলিত ধারার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দীর্ঘ শৃঙখল ধারা বিবেচনা করা যাক। এক্ষেত্রে, 0 → C n ( A ∩ B ) → α C n ( A ) ⊕ C n ( B ) → β C n ( A + B ) → 0 $0\to C_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {\alpha }}\,C_{n}(A)\oplus C_{n}(B)\,{\xrightarrow {\beta }}\,C_{n}(A+B)\to 0$

যেখানে α(x) = (x, −x), β(x, y) = x + y, এবং A ও B তে অবস্থিত শৃঙখলগুলোর সমষ্টিবিশিষ্ট শৃঙখল গ্রুপ C_n(A + B)।^[৯] স্পষ্টতঃ যে, X- এর অদ্বৈত ক্রমবর্তী সিমপ্লেক্সগুলো, যাদের প্রতিবিম্বগুলো A বা B এ রয়েছে, তারা সকল সমসংস্থ গ্রুপ H_n(X) উৎপন্ন করে।^[২৩] অন্য কথায়, H_n(A + B) এবং H_n(X) পরস্পর সমরূপ। এটি অদ্বৈত সমসংস্থের জন্য মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারা প্রদান করে।

একই পদ্ধতি অন্তরজ আকারের ভেক্টর ক্ষেত্রগুলোর ক্ষুদ্র শৃঙখলিত ধারার উপর প্রয়োগ করে, 0 → Ω n ( X ) → Ω n ( U ) ⊕ Ω n ( V ) → Ω n ( U ∩ V ) → 0 $0\to \Omega ^{n}(X)\to \Omega ^{n}(U)\oplus \Omega ^{n}(V)\to \Omega ^{n}(U\cap V)\to 0$

যা হতে দ্য রাম সহসমসংস্থ তত্ত্বের জন্য মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারা পাওয়া যায়। ^[২৪]

অন্যভাবে বলা যায়, দীর্ঘ শৃঙখলিত ধারা ব্যবহার করে সমসংস্থ তত্ত্বগুলোর জন্য প্রদত্ত এলিয়েবার্গ-স্টিনরোড স্বতঃসিদ্ধ সমূহ হতে মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারা পাওয়া যায়।^[২৫]

অন্যান্য সমসংস্থ তত্ত্ব

এলিয়েনবার্গ-স্টিনরোড স্বতঃসিদ্ধ হতে মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারা প্রতিপাদনের জন্য মাত্রা স্বতঃসিদ্ধের প্রয়োজন হয় না ,^[২৬] ফলে সাধারণ সমসংস্থ তত্ত্বে অন্তর্ভুক্ত হওয়ার মাধ্যমে এটি অসাধারণ সমসংস্থ তত্ত্বকেও ধারণ করে(যেমন টপোগাণিতিক K-তত্ত্ব এবং সহতলত্ব)

গুচ্ছ সহসমসংস্থ তত্ত্ব

গুচ্ছ সহসমসংস্থের দৃষ্টিকোণ থেকে,মেয়ার-ভিয়েটরিস ক্রমটি চেক সহসমসংস্থ তত্ত্বের সঙ্গে সম্পর্কিত। বিশেষ করে,যখন দুটি মুক্ত সেটের জন্য চেক সহসমসংস্থ নির্ণয় করতে মুক্ত আচ্ছাদন ব্যবহৃত হয়, তখন বর্ণালী ক্রমের অবরোহ হতে মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারা উদ্ভূত হয় এবং তা উক্ত চেক সমসংস্থ তত্ত্বকে গুচ্ছ সহসমসংস্থের (কখনো কখনো মেয়ার-ভিয়েটরিস বর্ণালী ক্রমও বলা হয়) সঙ্গে সম্পর্কিত করে। ^[২৭] এই বিশেষ বর্ণালী ক্রমটি ইচ্ছামূলক টপোসগুলোতে বিদ্যমান।^[২৮]

আরো দেখুন
- ছেদন উপপাদ্য
January 8, 2023

বীজগণিত

বীজগণিত (নামটি এসেছে আরবি: الجبر‎‎ আল-জাবর থেকে, যার অর্থ “ভাঙ্গা অংশসমূূহের পুনর্মিলন”^[১] এবং “হাড়সংযুক্তকরণ”^[২]) গণিতের সংখ্যাতত্ত্ব, জ্যামিতি এবং গাণিতিক বিশ্লেষণের একটি বিস্তৃত ক্ষেত্র। অতি সাধারণ রূপে বীজগণিত হলো গাণিতিক চিহ্নগুলির অধ্যয়ন এবং এই চিহ্নগুলো নিপূণভাবে ব্যবহার করার নিয়ম;^[৩] এটি গণিতের প্রায় সমস্ত শাখার সেতুবন্ধন স্বরূপ। এতে প্রাথমিক সমীকরণ সমাধান থেকে শুরু করে গ্রুপ, রিং এবং ক্ষেত্রগুলির মতো বিমূর্ত বিষয়সমূহের অধ্যয়ন পর্যন্ত সমস্ত কিছুই অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। বীজগণিতের মৌলিক অংশগুলিকে প্রাথমিক বীজগণিত বলা হয়ে থাকে এবং বিমূর্ত অংশগুলিকে বিমূর্ত বীজগণিত বা আধুনিক বীজগণিত বলা হয়। প্রাথমিক বীজগণিতকে সাধারণত গণিত, বিজ্ঞান বা প্রকৌশল বিষয়ক অধ্যয়নের জন্য; এমনকি ঔষধ, অর্থনীতি সম্পর্কিত প্রয়োগের জন্যও অপরিহার্য বলে মনে করা হয়ে থাকে। বিমূর্ত বীজগণিত হল উন্নত গণিতের একটি প্রধান ক্ষেত্র, যা মূলত পেশাদার গণিতবিদরা অধ্যয়ন করে থাকে।

এই দ্বিঘাত সূত্রটি a x 2 + b x + c = 0 $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণটির সমাধান বের করে। যেখানে a $a$ , b $b$ এবং c $c$ সমীকরণটির সহগ এবং a ≠ 0 $a\neq 0$ ।

প্রাথমিক বীজগণিতের বিমূর্ত ব্যবহার পাটীগণিত থেকে পৃথক, যেমনঃ বীজগণিতে অজানা সংখ্যার মান নির্ণয়ের জন্য যে অক্ষর ব্যবহার করা হয়ে থাকে, তা একাধিক মান গ্রহণ করতে পারে।^[৪] উদাহরণস্বরূপ, x + 2 = 5 $x+2=5$ তে x $x$ অক্ষরটি অজানা, তবে যোগাত্মক বিপরীত সংখ্যার ধারণা প্রয়োগের মাধ্যমে এর মান নির্ণয় করা যেতে পারে: x = 3 $x=3$ । E = mc² তে, E $E$ এবং m $m$ অক্ষরসমূহ চলক এবং c $c$ অক্ষর একটি ধ্রুবক, যা শূন্যে আলোর গতি নির্দেশ করে। বীজগণিতে সূত্র লেখার এবং সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য অনেক পদ্ধতি রয়েছে, যা কথায় সমস্ত কিছু লেখার পুরনো পদ্ধতির চেয়ে অনেক বেশি স্পষ্ট এবং সহজ।

বীজগণিত শব্দটি নির্দিষ্ট কিছু বিশেষ পদ্ধতিতেও ব্যবহৃত হয়। বিমূর্ত বীজগণিতের একটি বিশেষ ধরণের গাণিতিক বস্তুকে “বীজগণিত” বলা হয় এবং শব্দটি ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, রৈখিক বীজগণিত, বীজগাণিতিক টপোলজি ইত্যাদি বীজগাণিতিক শাখাসমূহের নামে।

একজন গণিতবিদ যিনি বীজগণিতে গবেষণা করেন, তাকে বীজগণিতবিদ বলা হয়।বহু বীজগণিতবিদ মিলে এই বীজগণিতকে আরও অনেক সমৃদ্ধ করেছেন।যেমন,”রেনে দেকারতে”সেরকমই একজন বীজগণিতবিদ।

ব্যুৎপত্তি

আরও দেখুন: বীজগণিতের ইতিহাস § ব্যুৎপত্তি

ফার্সি গণিতবিদ আল খারিজমি, তিনি তার বইয়ে আল-জাবর শব্দটি ব্যবহার করেন, এই “আল-জাবর” থেকেই ইংরেজি “আলজেবরা” শব্দটি এসেছে।

বীজগণিত আরবি الجبر (“আল-জাবর” অর্থ “ভাঙা জিনিস পুনঃগঠিত করা”) শব্দ থেকে এসেছে এবং শব্দটি ফার্সি গণিতবিদ এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানী আল খারিজমি রচিত নবম শতাব্দীর প্রথম দিকের বই ইলমুল জাবর ওয়াল মুকাবালাহ্ (“পুনর্গঠন এবং ভারসাম্যের বিজ্ঞান”) শিরোনাম থেকে এসেছে। আল-জাবর শব্দটি দিয়ে তার রচনায় তিনি সমীকরণের এক দিক থেকে পদ অন্য দিকে নিয়ে যাওয়ার পদক্ষেপকে বুঝিয়েছিলেন, المقابلة (আল-মুকাবালাহ্, অর্থগ “ভারসাম্য”) দ্বারা উভয় পক্ষে সমান পদ যুক্ত করার বিষয়টিকে তিনি বুঝিয়েছিলেন। লাতিন ভাষায় আলজেবার অথবা আলজেবরা নামে সংক্ষিপ্ত হয়ে, অবশেষে পঞ্চদশ শতাব্দীতে স্পেনীয়, ইতালীয় বা মধ্যযুগীয় লাতিন ভাষা হয়ে ইংরেজি ভাষায় প্রবেশ করে। এটি প্রকৃতপক্ষে, ভাঙা বা স্থানচ্যুত হাড় স্থাপনের শল্য চিকিৎসার পদ্ধতিকে বোঝায়। গাণিতিক অর্থ (ইংরেজিতে) ষোড়শ শতাব্দীতে প্রথম নথিভূক্ত করা হয়েছিল।^[৫]

বীজগণিত শব্দের বিভিন্ন অর্থ

“বীজগণিত” এর একক শব্দ বা পরিবর্ধকবাচক শব্দসহ গণিতে বেশ কয়েকটি সম্পর্কিত অর্থ রয়েছে।

কোনও পদাশ্রিত নির্দেশক (article) ব্যতীত, একক শব্দ হিসেবে “বীজগণিত” গণিতের একটি বিস্তৃত অংশের নাম।
একটি পদাশ্রিত নির্দেশক বা বহুবচনসহ একক শব্দ হিসেবে, “একটি বীজগণিত” বা “বীজগণিত” একটি নির্দিষ্ট গাণিতিক কাঠামো বোঝায়, যার সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা প্রসঙ্গের উপর নির্ভর করে। সাধারণত, কাঠামোর একটি যোগ, গুণ এবং স্কেলার গুণ রয়েছে (একটি ক্ষেত্রের উপরে বীজগণিত দেখুন)। কিছু লেখক যখন “বীজগণিত” শব্দটি ব্যবহার করেন, তখন তারা নিম্নলিখিতঃ সংযোজন, বিনিময়,অভেদক , এবং / অথবা, সসীম-মাত্রার অতিরিক্ত অনুমানের একটি উপসেট ব্যবহার করে থাকেন। সর্বজনীন বীজগণিতে, “বীজগণিত” শব্দটি উপরের ধারণার একটি সাধারণীকরণকে বোঝায়, যা এন-অ্যারি ক্রিয়াকলাপের অনুমতি দিয়ে থাকে।
একটি পরিবর্ধকবাচক শব্দসহ, এখানে একই ধরনের পার্থক্য দেখা যায়:
- পদাশ্রিত নির্দেশক ব্যতীত নামটি বীজগণিতের একটি অংশকে বোঝায়, যেমনঃ রৈখিক বীজগণিত, প্রাথমিক বীজগণিত (প্রতীক-নিপুণভাবে ব্যবহার বিধি গণিতের প্রাথমিক কোর্সে প্রাথমিক ও মাধ্যমিক শিক্ষার অংশ হিসাবে শেখানো হয়), বা বিমূর্ত বীজগণিত (বিমূর্ত বীজগণিত অধ্যয়নকারীদের জন্য)।
- একটি পদাশ্রিত নির্দেশকসহ এর দ্বারা উদাহরণস্বরূপঃ কিছুটা বিমূর্ত কাঠামোকে বোঝায়, যেমনঃ একটি লাই বীজগণিত, একটি সহযোগী বীজগণিত, বা একটি শীর্ষ অপারেটর বীজগণিত।
- কখনও কখনও উভয় অর্থ একই যোগ্যতার জন্য উপস্থিত থাকে। যেমনঃ এক বাক্যে: বিনিময় বীজগণিত হল বিনিময় রিংগুলির অধ্যয়ন, যা পূর্ণসংখ্যার উপর বিনিময় বীজগণিত।

গণিতের একটি শাখা হিসেবে “বীজগণিত”

বীজগণিত পাটিগণিতের মতো হিসাব-নিকাশ দিয়ে শুরু হয়েছিল, যেখানে অক্ষর সংখ্যার মান ধারণ করতে পারে।^[৪] যা যেকোন সংখ্যার জন্য ধর্মসমূহের প্রমাণ করতে সাহায্য করে। a x 2 + b x + c = 0 , $ax^{2}+bx+c=0,$

a , b , c $a,b,c$ যে কোনও সংখ্যা হতে পারে (তবে, a $a$ = 0 $0$ হতে পারবে না), এবং দ্বিঘাত সূত্রটি অজানা চলক x $x$ এর মানগুলি দ্রুত এবং সহজেই বের করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যা সমীকরণকে সিদ্ধ করবে। এর অর্থ, সমীকরণের সমস্ত সমাধান সন্ধান করা।

ঐতিহাসিকভাবে এবং বর্তমান শিক্ষা ব্যবস্থায় বীজগণিতের অধ্যয়ন উপরের দ্বিঘাত সমীকরণের মতো সমীকরণের সমাধানের মাধ্যমে শুরু হয়। তারপরে আরও সাধারণ প্রশ্ন যেমন “একটি সমীকরণের সমাধান আছে কি?”, “একটি সমীকরণের কতগুলি সমাধান আছে?”, “সমাধানগুলির প্রকৃতি সম্পর্কে কী বলা যেতে পারে?” বিবেচনা করা হয়ে থাকে। এই প্রশ্নগুলো পরবর্তীতে বীজগণিতকে বিভিন্ন অ-সংখ্যাসূচক বিষয়সমূহ যেমনঃ বিন্যাস, ভেক্টর, ম্যাট্রিক্স এবং বহুপদী তে ব্যাপ্ত করে। এই অ-সংখ্যাসূচক বিষয়সমূহের কাঠামোগত বৈশিষ্ট্যগুলি তখন গ্রুপ, রিং এবং ক্ষেত্রের মতো বীজগণিতক কাঠামোতে বিমূর্ত হয়।

ষোড়শ শতাব্দীর আগে, গণিত কেবল দুটি উপ-ক্ষেত্র, পাটিগণিত এবং জ্যামিতিতে বিভক্ত ছিল। যদিও কিছু কিছু পদ্ধতি, যা অনেক আগে বিকশিত হয়েছিল, যা আজকাল বীজগণিত হিসাবে গণ্য করা যেতে পারে, বীজগণিতের উত্থান এবং এরপরেই কেবল ১৬শ বা ১৭শ শতকের দিকে অগণিত ক্যালকুলাস গণিতের শাখা হিসাবে আবির্ভূত হয় । উনিশ শতকের দ্বিতীয়ার্ধ থেকে, গণিতের অনেকগুলি নতুন ক্ষেত্র আবির্ভূত হয়েছিল, যার বেশিরভাগই পাটিগণিত এবং জ্যামিতি উভয়ই ব্যবহার করেছিল এবং প্রায় সবগুলিই বীজগণিত ব্যবহার করেছিল।

আজ, বীজগণিত বৃদ্ধি পেয়েছে যতক্ষণ না এতে গণিতের অনেকগুলি শাখা অন্তর্ভুক্ত হয়েছে , যেমনটি গণিতের বিষয় শ্রেণীবদ্ধকরণে দেখা যায়। ^[৬] যেখানে প্রথম স্তরের কোন অংশকে (দুটি অঙ্কের সংখ্যা) বীজগণিত বলা হতো না। আজ বীজগণিতের মধ্যে রয়েছে, ০৮-সাধারণ বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া , ১২- ক্ষেত্র তত্ত্ব এবং বহুপদী, ১৩- বিনিময় বীজগণিত, ১৫- রৈখিক এবং বহুরেখা বীজগণিত ; ম্যাট্রিক্স তত্ত্ব, ১৬- সংযোজন রিং এবং বীজগণিত , ১৭- অসংযোজন রিং এবং বীজগণিত, ১৮- শ্রেণী তত্ত্ব ; সমসংস্থানিক বীজগণিত, ১৯- কে-তত্ত্ব এবং ২০- গ্রুপ তত্ত্ব । ১১- সংখ্যা তত্ত্ব এবং ১৪- বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে বীজগণিত ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

ইতিহাস

মূল নিবন্ধ: বীজগণিতের ইতিহাস

বীজগণিতের আদি ইতিহাস

আল-খোয়ারিজমিরআল কিতাব আল -মুখতাসার ফি হিসাব আল জাবর ওয়াল মুকাবালাহ্ এর একটি পাতা

বীজগণিতের উৎপত্তি প্রাচীন ব্যাবিলনীয়দের^[৭] কাছে শনাক্ত করা যায়, যারা একটি উন্নত পাটিগণিত ব্যবস্থা তৈরি করেছিল, যার সাহায্যে তারা একটি অ্যালগরিদমিক প্রক্রিয়ায় গণনা করতে সক্ষম হয়েছিল। ব্যাবিলনীয়রা রৈখিক সমীকরণ, দ্বিঘাত সমীকরণ এবং অনির্দিষ্ট রৈখিক সমীকরণ ব্যবহার করে বর্তমানে সমাধান করা সমস্যাগুলির সমাধান করার জন্য সূত্র তৈরি করেছিল। বিপরীতে, এই যুগের বেশিরভাগ মিশরীয়রা, পাশাপাশি গ্রীক ও চীনা গণিতও খ্রিস্টপূর্ব ১ম সহস্রাব্দে, সাধারণত জ্যামিতিক পদ্ধতি দ্বারা সমীকরণগুলি সমাধান করেছিল। যেমন রিহিন্দ ম্যাথমেটিক্যাল পাপিরাস, ইউক্লিডের উপাদানসমূহ এবং দ্য ম্যাথমেটিকাল আর্টস এর নবম অধ্যায়ে যার উল্লেখ পাওয়া যায় । গ্রীকদের জ্যামিতিক কাজ সূত্রকে সাধারণীকরণের জন্য নির্দিষ্ট সূত্রকে আরও সাধারণ পদ্ধতিতে উল্লেখকরণ ও সমীকরণের সমাধানের বাইরে সূত্রকে সাধারণীকরণের কাঠামো সরবরাহ করেছিল, যদিও মধ্যযুগীয় ইসলামে গণিতের বিকাশ না হওয়া পর্যন্ত এটি উপলব্ধি করা সম্ভব হয়নি।^[৮]

প্লেটোর সময়কালে গ্রিক গণিতের ক্ষেত্রে এক বিরাট পরিবর্তন ঘটে গেছে । গ্রীকরা একটি জ্যামিতিক বীজগণিত তৈরি করেছিল যেখানে পদগুলি জ্যামিতিক বস্তুর পক্ষ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হতো, সাধারণত রেখা যেগুলির সাথে অক্ষর যুক্ত ছিল। ^[৪] দাওফান্তাস (খ্রিস্টীয় তৃতীয় শতাব্দী) ছিলেন আলেকজান্দ্রীয় গ্রিক গণিতবিদ এবং অ্যারিথমেটিকা নামে একাধিক বইয়ের লেখক। এই গ্রন্থগুলি বীজগাণিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করার বিষয়ে আলোচনা করে,^[৯] এবং সংখ্যা তত্ত্বকে ডায়োফান্তাইন সমীকরণের আধুনিক ধারণার দিকে নিয়ে গেছে।

উপরে আলোচিত পূর্ববর্তী ঐতিহ্যসমূহ ফার্সি গণিতবিদ মুহম্মদ ইবনে মুসা আল-খোয়ারিজমি (সি. ৭৮০-৮৫০) -এর উপর প্রত্যক্ষ প্রভাব ফেলেছিল। পরবর্তীতে, তিনি কমপ্লেশিয়াস বুক অন ক্যালকুলেশন বাই কমপ্লেশন অ্যান্ড ব্যালান্সিং লিখেছিলেন, যা বীজগণিতকে একটি গাণিতিক নিয়ম হিসাবে প্রতিষ্ঠিত করে;যা জ্যামিতি এবং পাটিগণিত থেকে স্বতন্ত্র। ^[১০]

হেলেনিস্টিক গণিতবিদ আলেকজান্দ্রিয়ার নায়ক এবং ডিওফ্যান্টাসের গণিতবিদগণ ^[১১] পাশাপাশি ব্রহ্মগুপ্তের মতো ভারতীয় গণিতবিদরা মিশর এবং ব্যাবিলনের ঐতিহ্য অব্যাহত রেখেছিলেন, যদিও ডিওফ্যান্টাসের অ্যারিথমেটিকা এবং ব্রহ্মগুপ্তের ব্রহ্মস্ফুটসিদ্ধান্ত উচ্চ স্তরে রয়েছে। ^[১২] উদাহরণস্বরূপ,৬২৮ খ্রিস্টাব্দে দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য শূন্য ও ঋণাত্মক সমাধানসহ শব্দের মাধ্যমে প্রথম সম্পূর্ণ গাণিতিক সমাধানটি ^[১৩] ব্রহ্মগুপ্ত তাঁর “ব্রহ্মসুফাসিদ্ধন্ত” গ্রন্থে বর্ণনা করেছিলেন। পরবর্তীতে,ফার্সি ও আরবি গণিতবিদগণ বীজগণিত পদ্ধতিগুলি কঠোর পরিশ্রমের মাধ্যমে উন্নত করেছিলেন। যদিও ডিওফান্টাস এবং ব্যাবিলনীয়রা সমীকরণগুলি সমাধানের জন্য বেশিরভাগ বিশেষ অ্যাডহক পদ্ধতি ব্যবহার করেছিল, আল-খয়ারিজমির অবদানটি ছিল মৌলিক। তিনি বীজগাণিতিক প্রতীক, ঋণাত্মক সংখ্যা বা শূন্য ছাড়াই রৈখিক এবং দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করেছিলেন, সুতরাং তাকে বিভিন্ন ধরনের সমীকরণকে আলাদা করতে হয়েছিল।

যেখানে বীজগণিতকে সমীকরণ তত্ত্বের সাথে সম্পৃক্ত করা হয়েছে,সেখানে গ্রিক গণিতবিদ ডিওফ্যান্টাস ঐতিহ্যগতভাবে “বীজগণিতের জনক” হিসাবে পরিচিতি পেয়েছেন এবং যেখানে সমীকরণগুলি পরিচালনা ও সমাধানের নিয়মগুলির সাথে সম্পৃক্ত , সেখানে ফার্সি গণিতবিদ আল-খোয়ারিজমিকে “বীজগণিতের জনক” হিসাবে বিবেচনা করা হয় । ^[১৪]^[১৫]^[১৬]^[১৭]^[১৮] ^[১৯] কে (সাধারণ অর্থে) “বীজগণিতের জনক” হিসাবে পরিচিত হওয়ার অধিক অধিকারপ্রাপ্ত তা নিয়ে এখন বিতর্ক রয়েছে। আল-জাবরের মধ্যে পাওয়া বীজগণিতটি অ্যারিথমেটিকাতে পাওয়া বীজগণিতের তুলনায় কিছুটা বেশি প্রাথমিক এবং অ্যারিথমেটিকা বাকবিতণ্ডিত, যেখানে আল-জাবর সম্পূর্ণরূপে আলংকারিক । ^[২০] যারা আল-খুয়ারিজমিকে সমর্থন করেন তারা এই বিষয়টির দিকে ইঙ্গিত করেন যে তিনি ” পক্ষান্তর ” এবং “ভারসাম্য”র পদ্ধতিগুলি চালু করেছিলেন (সমীকরণের এক দিক থেকে অন্য দিকে পদের স্থানান্তর, অর্থাৎ, সমীকরণ এর বিপরীত দিকে একই পদের বাতিলকরণ) যা ‘আল-জাবর’ শব্দটি দ্বারা মূলত বোঝানো হয়েছে,^[২১] এবং তিনি দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করার একটি বিস্তৃত ব্যাখ্যা দিয়েছেন,^[২২] এছাড়া তাঁর বীজগণিত আর মাথাব্যথার কারণ ছিল না ” সমস্যার একটি সিরিজ পুনঃমীমাংসা করার সাথে , কিন্তু একটি বর্ণনামূলক বর্ণনা যা আদি পদের সমন্বয়ে গঠিত হয়,যেখানে সকল বিন্যাস সমীকরণ গঠনের জন্য সকল নিয়ম কানুন অবশ্যই দিবে,যা অতঃপর স্পষ্টভাবে অধ্যয়নের সত্য বস্তু গঠন করে”। তিনি একটি সমীকরণের স্বার্থে সমীকরণটি অধ্যয়নও করেছিলেন এবং “সাধারণ পদ্ধতিতে, কারণ এটি কোনও সমস্যার সমাধান করার ক্ষেত্রে কেবল উত্থিত হয় না, তবে এটি একটি অসীম শ্রেণীর সমস্যার সংজ্ঞা দেওয়ার জন্য বিশেষভাবে কাজে আসে”।

অপর ফার্সি গণিতবিদ ওমর খৈয়ামকে বীজগাণিতিক জ্যামিতির ভিত্তি শনাক্ত করার জন্য সম্মানিত করা হয় এবং তিনি ঘন সমীকরণের সাধারণ জ্যামিতিক সমাধান আবিষ্কার করেছিলেন।তাঁর গ্রন্থ ট্রিটাইজ অন ডেমোনস্টেশনস অফ প্রবলেমস অফ অ্যালজেবরা (১০৭০)এ বীজগণিতের নীতিমালা রচনা করেন, যা ফার্সি গণিতের অংশ যা শেষ পর্যন্ত ইউরোপে স্থানান্তরিত হয়েছিল। ^[২৩] তবুও আরেক ফার্সি গণিতবিদ শারাফ আল দিন আল তুসি ঘন সমীকরণের বিভিন্ন ক্ষেত্রে বীজগাণিতিক এবং সংখ্যাসূচক সমাধান খুঁজে পেয়েছিলেন । ^[২৪] তিনি একটি ফাংশনের ধারণাও বিকাশ করেছিলেন।ভারতীয় গণিতবিদ মহাবীর এবং দ্বিতীয় ভাস্কর ফারসি গণিতবিদ আল-কারাজি,^[২৫] এবং চীনা গণিতবিদ চু শি-চিয়ে, ঘনের বিভিন্ন ঘটনা সমাধান , দ্বিঘাত সমীকরণ, কুইন্টিক এবং উচ্চতর-পর্যায়ের বহুপদী সমীকরণ সমাধানের জন্য সংখ্যাগত একটা পদ্ধতি ব্যবহার করেন।১৩তম শতকে, একটি ঘন সমীকরণ গণিতবিদ ফিবোনাচ্চি দ্বারা সমাধান ইউরোপীয় বীজগণিতে রেনেসাঁ শুরুর একটি প্রতিনিধি। আবু আল-আসান ইবন আলি-আল-কালাসাদি (১৪১২-১৪৮৬) “বীজগণিতে প্রতীকবাদের প্রবর্তনের দিকে প্রথম পদক্ষেপ গ্রহণ করেছিলেন”।তিনি ∑ n ², ∑ n ³ গণনা করেছিলেন এবং বর্গমূল নির্ধারণের জন্য ক্রমাগত আনুমানিক পদ্ধতিটি ব্যবহার করেছিলেন।^[২৬]

বীজগণিতের আধুনিক ইতিহাস

ইতালিয়ান গণিতবিদ জিরোলামো কার্দানো ১৫৪৫ সালে রচিত তাঁর গ্রন্থ আরস ম্যাগনা-তেঘন এবং দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান প্রকাশ করেছিলেন।

১৬শ শতাব্দীর শেষের দিকে নতুন বীজগণিত নিয়ে ফ্রান্সোইস ভিয়েটের কাজ আধুনিক বীজগণিতের দিকে গুরুত্বপূর্ণ পদক্ষেপ ছিল। ১৬৩৭ সালে, র‍্যনে দেকার্ত স্থানাঙ্ক জ্যামিতি আবিষ্কার করেন এবং আধুনিক বীজগাণিতিক চিহ্ন প্রবর্তন করে লা জিওম্যাট্রি প্রকাশ করেছিলেন।বীজগণিতের আরও বিকাশের আরেকটি মূল ঘটনা হল ঘন এবং দ্বিঘাত সমীকরণগুলির সাধারণ বীজগাণিতিক সমাধান,যা ১৬তম শতাব্দীর মাঝামাঝি সময়ে বিকশিত হয়েছিল।নির্ণায়কের ধারণাটি ১৭তম শতাব্দীতে জাপানি গণিতবিদ সেকি কোওয়া বিকাশ করেছিলেন এবং ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে এক সাথে রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধানের উদ্দেশ্যে দশ বছর পরে গটফ্রাইড লাইবনিজ স্বাধীনভাবে তার অনুসরণ করেছিলেন। জোসেফ-লুই ল্যাঞ্জরেজ বিন্যাস অধ্যয়ন করেছিলেন,তিনি তার ১৭৭০-এর গবেষণাপত্র ” রেফ্লেকশনস সুর লা রিসুলিউশন অ্যালজেব্রিক ডেস অ্যাকুয়েশনস “বাংলায় “বীজগাণিতিক সমীকরণ সমাধানের জন্য নিবেদিত” যেখানে তিনি ল্যাঞ্জরেজ রেসলভেন্টস প্রবর্তন করেছিলেন।পাওলো রুফিনি প্রথম ব্যক্তি ছিলেন যিনি বিন্যাসের গ্রুপ তত্ত্বটি বিকাশ করেছিলেন এবং তাঁর পূর্বসূরীদের মতো বীজগণিত সমীকরণ সমাধানের প্রসঙ্গেও তিনি অবদান রেখেছিলেন।

সমীকরণ সমাধানে আগ্রহ , প্রাথমিকভাবে গ্যালোয়া তত্ত্ব এবং গঠনমূলক বিষয়ের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করার কারণে ১৯তম শতাব্দীতে বিমূর্ত বীজগণিত উন্নতি সাধন করেছিল। ^[২৭] জর্জ পিইকক্ গণিত এবং বীজগণিত মধ্যে অচলিত চিন্তাধারা প্রতিষ্ঠাতা করেছিলেন। অগাস্টাস ডি মরগান তার প্রস্তাবিত যুক্তির সিস্টেমে রিলেশনাল বীজগণিত আবিষ্কার করেছিলেন। জোসিয়াহ উইলার্ড গিবস ত্রি-মাত্রিক স্থানের ভেক্টরগুলির একটি বীজগণিত বিকাশ করেছিলেন এবং আর্থার কেলি ম্যাট্রিক্সের একটি বীজগণিত বিকাশ করেছিলেন (এটি একটি অনিয়মিত বীজগণিত)।

বীজগণিত শব্দটিসহ গণিতের ক্ষেত্রসমূহ

গণিতের কিছু ক্ষেত্র যা বিমূর্ত বীজগণিতের শ্রেণিবিন্যাসের আওতায় আসে তাদের নামে বীজগণিত শব্দটি রয়েছে; রৈখিক বীজগণিত এর একটি উদাহরণ। অন্যদের নামে অবশ্য বীজগণিত শব্দটি নেই : গ্রুপ তত্ত্ব, রিং তত্ত্ব এবং ক্ষেত্র তত্ত্ব তার উদাহরণ। এই বিভাগে, আমরা গণিতের কিছু ক্ষেত্র তালিকাভুক্ত করেছি যাদের নামের সাথে “বীজগণিত” শব্দটি রয়েছে ।

প্রাথমিক বীজগণিত, বীজগণিতের অংশ যা সাধারণত গণিতের প্রাথমিক পাঠ্যক্রমগুলিতে শেখানো হয়।
বিমূর্ত বীজগণিত, যার মধ্যে গ্রুপ, রিং এবং ক্ষেত্রের মতো বীজগণিত কাঠামো স্বতঃসিদ্ধ ব্যবস্থায় সংজ্ঞায়িত এবং গবেষণা করা হয়।
রৈখিক বীজগণিত, যেখানে রৈখিক সমীকরণের সুনির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য, ভেক্টর স্পেস এবং ম্যাট্রিক্স অধ্যয়ন করা হয়।
বুলিয়ান বীজগণিত, বীজগণিত একটি শাখা সত্য মান মিথ্যা এবং সত্য এর দ্বারা সংক্ষিপ্ত হিসাব করে ।
বিনিময় বীজগণিত, বিনিময় রিংগুলির অধ্যয়ন।
কম্পিউটার বীজগণিত , অ্যালগরিদম এবং কম্পিউটার প্রোগ্রাম হিসাবে বীজগাণিতিক পদ্ধতিসমূহের প্রয়োগ।
হোমোলজিকাল বীজগণিত, বীজগণিত কাঠামোর অধ্যয়ন যা টপোলজিকাল স্পেসগুলি অধ্যয়নের জন্য মৌলিক।
সর্বজনীন বীজগণিত, যেখানে সমস্ত বীজগণিত কাঠামোর সাধারণ বৈশিষ্ট্য অধ্যয়ন করা হয়।
বীজগণিত সংখ্যা তত্ত্ব, যেখানে সংখ্যার বৈশিষ্ট্যগুলি বীজগাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে অধ্যয়ন করা হয়।
বীজগাণিতিক জ্যামিতি, জ্যামিতির একটি শাখা, এর আদি আকারে বক্ররেখা এবং পৃষ্ঠতলকে বীজগাণিতিক সমীকরণের সমাধানের সাথে সম্পৃক্ত করে।
বীজগণিত সম্মিলন, যেখানে সংযুক্তি প্রশ্নগুলি অধ্যয়নের জন্য বীজগণিত পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।
রিলেশনাল বীজগণিত : অন্বয়ের একটি সেট যা নির্দিষ্ট অপারেটরের অধীনে বন্ধ থাকে

অনেক গাণিতিক কাঠামোকে বীজগণিত বলা হয়:

একটি ক্ষেত্রের উপরে বীজগণিত বা আরও সাধারণতভাবে একটি রিংয়ের উপরে বীজগণিত
ক্ষেত্র বা রিংয়ের মধ্যে বীজগণিতগুলির অনেক শ্রেণীর একটি নির্দিষ্ট নাম থাকে:
পরিমাপ তত্ত্ব ,
- সিগমা-বীজগণিত
- একটি সেটের উপর বীজগণিত
বিভাগ তত্ত্বে
- এফ-বীজগণিত এবং এফ-সহযোগী বীজগণিত
- টি-বীজগণিত
যুক্তিবিদ্যায় ,
- রিলেশন বীজগণিত, একটি অবশিষ্ট বুলিয়ান বীজগণিত যেটি কনভার্স নামে পরিচিতি লাভ করে প্রসারিত হয়েছিল।
- বুলিয়ান বীজগণিত, একটি পরিপূরক বিতরণ কাঠামো
- হেইটিং বীজগণিত

প্রাথমিক বীজগণিত

বীজগাণিতিক সমীকরণের চিহ্নসমূহ :
1 – ঘাত (সূচক)
2 – সহগ
3 – পদ
4 – প্রক্রিয়া চিহ্ন
5 – ধ্রুবক পদ
xyc – চলক/ধ্রুবক

প্রাথমিক বীজগণিত বীজগণিতের সর্বাধিক প্রাথমিক রূপ।এটা ঐ সকল ছাত্রদের শেখানো হয় যাদের পাটিগণিতের সাধারণ নীতিসমূহের বাইরে গণিতের কোন ধারণা নেই। পাটিগণিতে , কেবলমাত্র সংখ্যা এবং পাটিগণিত সংক্রান্ত প্রক্রিয়া চিহ্ন (যেমন +, −, ×, ÷) ব্যবহার করা হয়ে থাকে । বীজগণিতে , সংখ্যা অনেক সময় চলক এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় (যেমন a, n, x, y অথবা z)। এটা খুবই গুরুত্বপূর্ণ কারণ :

এটি পাটিগণিতের সূত্রসমূহের সাধারণ সূত্রে পরিণত করতে সাহায্য করে (যেমনঃ a + b = b + a;যা সকল a এবং b এর জন্য সত্য ) এবং বাস্তব সংখ্যার সিস্টেমের ধর্ম সমূহের পর্যায়ক্রমিক আবিষ্কারের এটি প্রথম পদক্ষেপ ছিল।
এটি “অজানা” সংখ্যা সম্পর্কে ধারণা , সমীকরণের সূচনা এবং এগুলি কীভাবে সমাধান করা যাবে; সে বিষয়ে অধ্যয়নের অনুমতি দেয়। (উদাহরণস্বরূপ, “একটি সংখ্যা x বের কর, যাতে 3x + 1 = 10 হয়”। অথবা, আরও কিছুটা এগিয়ে “একটি সংখ্যা x বের কর যাতে ax + b =c হয় ” । এটি আমাদের এই সিদ্ধান্তে নিয়ে যায় যে, নির্দিষ্ট সংখ্যার প্রকৃতির নয়, যা আমাদের সমীকরণটি সমাধান করতে দেয়। বরং এক্ষেত্রে সমীকরণ এর অন্তর্ভুক্ত অপারেশনগুলিই মুখ্য ভূমিকা পালন করে থাকে ।
এটি ফাংশনসম্পর্কিত সম্পর্ক গঠন করতে অনুমতি দেয়। (উদাহরণস্বরূপ , “যদি তুমি x টিকিট বিক্রি করো , তবে তোমার মুনাফা হবে 3x − 10 টাকা , অথবা f(x) = 3x − 10, সেখানে f হল ফাংশন , এবং x হল ঐ সংখ্যা যার উপর ফাংশনটি কাজ করছে। “)

বহুপদী

মূল নিবন্ধ: বহুপদী

একটি ত্রিঘাত বিশিষ্ট বহুপদী ফাংশনের লেখচিত্র

একটি বহুপদী হলো এমন একটি রাশি যা সসীম সংখ্যক অশূন্য পদের যোগফল , যেখানে প্রত্যেক পদ ধ্রুবক এবং পূর্ণসাংখ্যিক ঘাতে উন্নত সসীম সংখ্যক চলকের গুণফল ধারণ করে। উদাহরণস্বরূপ , x² + 2x − 3;একটি x চলকবিশিষ্ট বহুপদী। একটি বহুপদী রাশি হলো এমন একটি রাশি যাকে বিনিময় বিধি ,সংযোজন বিধি ,যোগ এবং গুণের বণ্টন বিধি দ্বারা বহুপদী হিসেবে পুনরায় লেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, (x− 1)(x + 3) হলো একটি বহুপদী রাশি।আসলে, সঠিকভাবে বলতে গেলে , এটি কিন্তু বহুপদী রাশি না। একটি বহুপদী ফাংশন হল এমন একটি ফাংশন যা বহুপদী , অথবা , একইভাবে , একটি বহুপদী রাশি দ্বারা সংজ্ঞায়িত। পূর্ববর্তী দুটি উদাহরণ একই বহুপদী ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করে।

দুটি গুরুত্বপূর্ণ এবং সম্পর্কিত বীজগাণিতিক সমস্যা হল বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণ ,যাতে কোন বহুপদীকে অপর এক বা একাধিক বহুপদীর গুণফল আকারে প্রকাশ করা হয়,যাদের আর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যাবে না , এবং বহুপদীর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক নির্ণয়। উপরে উদাহরণে বর্ণিত বহুপদীটিকে (x − 1)(x + 3) আকারে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা সম্ভব। একই ধরনের সম্পর্কিত একটি সমস্যা হল এক চলকবিশিষ্ট বহুপদীর বর্গমূলের জন্য বীজগাণিতিক রাশি নির্ণয় করা।

বিমূর্ত বীজগণিত

মূল নিবন্ধসমূহ: বিমূর্ত বীজগণিত ও বীজগাণিতিক কাঠামো

বিমূর্ত বীজগণিত প্রাথমিক বীজগণিতে প্রাপ্ত পরিচিত ধারণাসমূহ এবং সংখ্যার পাটিগণিতকে সাধারণ ধারণায় আরও বিস্তৃত করে । নিম্নে বিমূর্ত বীজগণিতের মৌলিক ধারণাসমূহ তালিকাভুক্ত করা হয়েছে।

সেট: কেবলমাত্র বিভিন্ন ধরনের সংখ্যা বিবেচনা করার পরিবর্তে , বিমূর্ত বীজগণিত সেটের আরও সাধারণ ধারণা নিয়ে কাজ করে সেট : সকল বস্তুসমূহের একটি সংগ্রহ (যাদের উপাদান নামে ডাকা হয়)যা সেটের জন্য নির্দিষ্ট করা শর্তের ভিত্তিতে বেছে নেওয়া হয়।একই জাতীয় সকল সংখ্যাসমূহের সংগ্রহই হলো সেট। সেটের অন্যান্য উদাহরণগুলোর মধ্যে রয়েছে সকল ২×২ আকারের ম্যাট্রিক্স ,সকল দ্বিঘাত বিশিষ্ট বহুপদী (ax² + bx + c) এর সেট ,একই সমতলে অবস্থিত সকল দুই মাত্রার ভেক্টরসমূহের সেট এবং বৃত্তাকার গ্রুপের মতো বিভিন্ন ধরনের সসীম গ্রুপ , যা পূর্ণসংখ্যার মডুলার n এর গ্রুপ। সেট তত্ত্ব যুক্তিবিদ্যার একটি শাখা এবং প্রায়োগিকভাবে বলতে গেলে এটি বীজগণিতের শাখা নয়।

বাইনারি অপারেশন :বাইনারি যোগ এর জন্য বলতে গেলে ∗, যোগের ধারণাটি আলাদা করে তুলে আনা হয়েছে। যে সেটের উপর অপারেশনটি সংজ্ঞায়িত তাছাড়া বাইনারি যোগের ধারণা অর্থহীন। S সেটের দুটি উপাদান a এবং b এর জন্য , a ∗ b সেটের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত আরেকটি উপাদান ; এই শর্তটিকে বলা হয় আবদ্ধকরণ। যোগ (+), বিয়োগ (−), গুণ (×), ভাগ বায়োনারি অপারেশন হতে পারে যদি তা বিভিন্ন সিটের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয় ,যেমনঃ ম্যাট্রিক্স, ভেক্টর, বহুপদীর যোগ এবং গুনের মতো।

অভেদক উপাদান :কোন অপারেশনে অভেদক উপাদানের ধারণা দেওয়ার জন্য ০ এবং ১ কে পৃথক করা হয়েছে। ০ যোগের জন্য অভেদক উপাদান এবং ১ গুণের জন্য অভেদক উপাদান। একটি সাধারণ বাইনারি অপারেটর ∗ এর জন্য অভেদক উপাদানটি হল e যা অবশ্যই a ∗ e = a এবং e ∗ a = a,এবং যদি এর অস্তিত্ব থাকে,তবে অবশ্যই এটিকে অনন্য হতে হবে। এটি যোগের জন্য এভাবে কাজ করে a + 0 = a এবং 0 + a = a এবং গুণের জন্য এভাবে a × 1 = a এবং 1 × a = a ।সকল সেট এবং অপারেটরসমূহের সমাবেশের অভেদক উপাদান থাকে না ; উদাহরণস্বরূপ , স্বাভাবিক ধনাত্মক সংখ্যার সেটটি হলো (1, 2, 3, …) যার যোগের জন্য কোন অভেদক উপাদান নেই।

বিপরীত্মক উপাদান :ঋণাত্মক সংখ্যা প্রথম বিপরীত্মক উপাদান এর ধারণাটি তুলে ধরে।. যোগের জন্য , a এর বিপরীত্মককে লেখা হয় −a, এবং গুণাত্মক বিপরীত্মককে লেখা হয় a⁻¹। a⁻¹একটি সাধারণ উভধর্মী বিপরীত্মক উপাদান ,যা a ∗ a⁻¹ = e এবং a⁻¹ ∗ a = e এই ধর্মটিকে সমর্থন করে, যেখানে e একটি অভেদক উপাদান।

সহযোজন বিধি :পূর্ণসংখ্যার যোগফলের একটি ধর্ম রয়েছে একে সহযোজন বিধি বলে।এটিতে মূলত,সংখ্যাসমূহের গ্রুপ করা হয় যাতে যোগফলের মানের কোনো পরিবর্তন হয় না। উদাহরণস্বরূপ : (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)। সাধারণ অর্থে , (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) হয়ে থাকে।এই ধর্মটি অধিকাংশ বাইনারি অপারেশনে ব্যবহার করা হয়,কিন্তু বিয়োগ অথবা ভাগ অথবা অক্টোনিয়ান গুণ বাইনারি অপারেশনে ব্যবহার করা হয় না।

বিনিময় বিধি: বাস্তব সংখ্যার যোগ এবং গুণ উভয়ই বিনিময়যোগ্য। এক্ষেত্রে , সংখ্যার অবস্থানের ক্রম ফলাফলকে প্রভাবিত করে না। উদাহরণস্বরূপ : 2 + 3 = 3 + 2. সাধারণ অর্থে , a ∗ b = b ∗ aহয়ে থাকে। এই ধর্মটি সকল বাইনারি অপারেশনের জন্য কাজ করে না। উদাহরণস্বরূপ, ম্যাট্রিক্স গুণ এবং কোয়াটারনিয়ন গুণ উভয়ই অ-বিনিময়যোগ্য।

গ্রুপ

মূল নিবন্ধ: গ্রুপ (গণিত )

আরও দেখুন: গ্রুপ তত্ত্ব ও গ্রুপ সমূহের উদাহরণ

উপর্যুক্ত ধারণাসমূহকে একত্রিত করে গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ কাঠামো গঠিত হয় : a গ্রুপ।একটা গ্রুপ হলো একটি সেট S এবং একটি বাইনারি অপারেটর ∗ এর সমাবেশ , তুমি যেভাবেই সংজ্ঞায়িত করো না কেন , কিন্তু নিম্নোক্ত ধর্মসমূহ তার মধ্যে থাকতে হবে :

একটি অভেদক উপাদান e এর অস্তিত্ব রয়েছে , যেন S এর অন্তর্ভুক্ত প্রত্যেক সদস্য a এর জন্য , e ∗ a এবং a ∗ e উভয়ই a এর প্রতি অভিন্ন হয় ।
প্রত্যেক উপাদানের একটি বিপরীত্মক রয়েছে : S এর অন্তর্ভুক্ত প্রত্যেক সদস্য a এর জন্য, একটি সংখ্যা a⁻¹ রয়েছে; যেন a ∗ a⁻¹ এবং a⁻¹ ∗ a উভয়ই অভেদক উপাদানের প্রতি অভিন্ন।
সংযোজন বিধি : যদি a, b এবং c ;S সেটের সদস্য হয়ে থাকে। তবে (a ∗ b) ∗ c এবং a ∗ (b ∗ c) অভিন্ন।

যদি একটি গ্রুপও বিনিময়যোগ্য হয় – যাতে, S এর অন্তর্ভুক্ত যেকোনো দুটি উপাদান a এবং b এর জন্য , a ∗ b এবং b ∗ a অভিন্ন হলে –এই গ্রুপটিকে বলা হবে আবেলিয়ান

উদাহরণস্বরূপ, যোগ অপারেশনের অধীনে সকল পূর্ণ সংখ্যার সেট একটি গ্রুপ। এই গ্রুপটিতে , অভেদক উপাদানটি হলো 0 এবং যেকোনো উপাদান a এর বিপরীত্মক হলো এর ঋণাত্মক , −a। সহযোজন বিধিটি ব্যবহারের জন্য প্রয়োজনীয় উপাদানের পূর্ণতা অর্জিত হয়েছে ,কারণ যেকোন পূর্ণ সংখ্যা a, b এবং cএর জন্য, (a + b) + c = a + (b + c)

অশূন্য মূলদ সংখ্যা গুনের অধীনে একটি গ্রুপ তৈরি করে। এখানে , 1 হল অভেদক উপাদান , যেহেতু যেকোনো মূলদ সংখ্যা a এর জন্য 1 × a = a × 1 = a। a এর বিপরীত্মক হলো 1/a, যেহেতু a × 1/a = 1.

যদিও, পূর্ণসংখ্যা গুন অপারেশনের অধীনে গ্রুপ তৈরি করে না। এটা এ কারণে যে,সাধারণত ,একটি পূর্ণসংখ্যার গুণাত্মক বিপরীত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় না। উদাহরণস্বরূপ , 4 একটি পূর্ণ সংখ্যা , কিন্তু এর গুণাত্মক বিপরীত্মক সংখ্যা হলো ¼, যা পূর্ণসংখ্যা নয়।

গ্রুপ তত্ত্বে গ্রুপ সমূহের তথ্য নিয়ে অধ্যয়ন করা হয়। সসীম সাধারণ গ্রপসমূহের শ্রেণীবিভাগ হচ্ছে এ তত্ত্বের একটি বড় ফলাফল , যার অধিকাংশ ১৯৫৫ এবং ১৯৮৩ এর মধ্যে প্রকাশিত হয়েছিল ,যা সসীম সাধারণ গ্রুপকে আপাতত ৩০টি মূল ধরনে বিভক্ত করে।

অর্ধ-গ্রুপ , কোয়াসি-গ্রুপ, এবং মনোয়েড এর গঠন কাঠামো গ্রুপের মত , তবে আরও সাধারণ ধরনের।এরা সেট এবং একটি বদ্ধ বাইনারি অপারেশন গঠন করে কিন্তু অন্যান্য শর্তগুলো প্রয়োজনমতো পূরণ করে না। একটি অর্ধ-গ্রুপের একটি সহযোজন বাইনারি অপারেশন রয়েছে কিন্তু এটির অভেদক উপাদান নাও থাকতে পারে। একটি মনোয়েড হলো একটি অর্ধ-গ্রুপ যার একটি অভেদক রয়েছে কিন্তু প্রত্যেক উপাদানের জন্য বিপরীত্মক নাও থাকতে পারে। একটি কোয়াসি-গ্রুপ একটি প্রয়োজন পূরণ করে, যাতে একটি উপাদানকে ওপর আরেকটি উপাদানে হয় অনন্য বাম-গুণ অথবা ডান-গুণ দ্বারা পরিণত করা যেতে পারে। ; যদিও , বাইনারি অপারেশনটি সহযোজন যোগ্য নাও হতে পারে।

সকল গ্রুপগুলো হলো মনোয়েড এবং সকল মনোয়েড হলো অর্ধ-গ্রুপ।

সেট	স্বাভাবিক সংখ্যা N	পূর্ণসংখ্যা Z	মূলদ সংখ্যা Q (আরও বাস্তব সংখ্যা R এবং জটিল সংখ্যা C )	পূর্ণসংখ্যা মডুলিয়ান 3: Z₃ = {0, 1, 2}
অপারেশন	+	× (w/o শূন্য )	+	× (w/o শূন্য)	+	−	× (w/o শূন্য)	÷ (w/o শূন্য)	+	× (w/o শূন্য)
বদ্ধ	হ্যাঁ	হ্যাঁ	হ্যাঁ	হ্যাঁ	হ্যাঁ	হ্যাঁ	হ্যাঁ	হ্যাঁ	হ্যাঁ	হ্যাঁ
অভেদক	0	1	0	1	0	N/A	1	N/A	0	1
বিপরীত্মক	N/A	N/A	−a	N/A	−a	N/A	1/a	N/A	যথাক্রমে, 0, 2, 1	যথাক্রমে, N/A, 1, 2
সহযোজনযোগ্য	হ্যাঁ	হ্যাঁ	হ্যাঁ	হ্যাঁ	হ্যাঁ	না	হ্যাঁ	না	হ্যাঁ	হ্যাঁ
বিনিময়যোগ্য	হ্যাঁ	হ্যাঁ	হ্যাঁ	হ্যাঁ	হ্যাঁ	না	হ্যাঁ	না	হ্যাঁ	হ্যাঁ
গঠন	মনোয়েড	মনোয়েড	আলেবিয়ান গ্রুপ	মনোয়েড	আলেবিয়ান গ্রুপ	কোয়াসি-গ্রুপ	আলেবিয়ান গ্রুপ	কোয়াসি-গ্রুপ	আলেবিয়ান গ্রুপ	আলেবিয়ান গ্রুপ (Z₂)

রিং এবং ক্ষেত্র

মূল নিবন্ধসমূহ: রিং (গণিত ) ও ক্ষেত্র (গণিত)

আরও দেখুন: রিং তত্ত্ব, রিং তত্ত্বের শব্দকোষ, ক্ষেত্র তত্ত্ব (গণিত) ও ক্ষেত্র তত্ত্বের শব্দকোষ

গ্রুপ সমূহের কেবল একটি মাত্র বাইনারি অপারেশন রয়েছে। বিভিন্ন ধরনের সংখ্যা এবং কাঠামো সম্পূর্ণভাবে ব্যাখ্যার জন্য দুটি অপারেটর সম্পর্কে অধ্যয়ন করা একান্ত প্রয়োজন। এই তত্ত্বসমূহের মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ দুটি তত্ত্ব হলো রিং তত্ত্ব এবং ক্ষেত্র তত্ত্ব।

একটি রিংয়ের দুটি বাইনারি অপারেটর (+) এবং (×) রয়েছে। যেখানে, × , + এর সাথে বণ্টনযোগ্য। প্রথম অপারেটর (+) এর অধীনে এটি আবেলিয়ান গ্রুপ গঠন করে। দ্বিতীয় অপারেটর (×) এর অধীনে এটি সংযোজনযোগ্য , কিন্তু এটির অভেদক অথবা বিপরীত্বক থাকার কোন দরকার নেই , সুতরাং ভাগের কোন দরকার নেই। যোগাত্মক(+) অভেদক উপাদানটিকে লেখা হয় 0 এবং a এর যোগাত্মক বিপরীত্বককে লেখা হয় −a।

বণ্টনযোগ্যতা বণ্টন সূত্রকে সংখ্যার জন্য সাধারণ করে। পূর্ণসংখ্যার জন্য (a + b) × c = a × c + b × c এবং c × (a + b) = c × a + c × b, এবং × কে + এর সাথে বণ্টনযোগ্য বলা হয়ে থাকে।

পূর্ণসংখ্যাসমূহ রিং এর একটি উদাহরণ। পূর্ণসংখ্যাসমূহের একটি অতিরিক্ত ধর্ম রয়েছে যা তাকে পূর্ণসাংখ্যিক ডোমেইন এ পরিণত করেছে।

একটি ক্ষেত্র হল অতিরিক্ত ধর্মসহ একটি রিং যাতে 0 বাদে সকল উপাদান × এর অধীনে একটি আবেলিয়ান গ্রুপ গঠন করে । a এর গুণাত্বক (×) অভেদককে লেখা হয় 1 এবং a এর গুণাত্বক বিপরীত্বককে লেখা হয় a⁻¹।

মূলদ সংখ্যাসমূহ , বাস্তব সংখ্যাসমূহ এবং জটিল সংখ্যাসমূহ সবই ক্ষেত্র(ফিল্ড) এর উদাহরণ।

বহিঃসংযোগ

উইকিউক্তিতে বীজগণিত সম্পর্কিত উক্তির সংকলন রয়েছে।

উইকিঅভিধানে বীজগণিত শব্দটি খুঁজুন।

উইকিবইয়ে এই বিষয়ের উপরে একটি বই রয়েছে: বীজগণিত

Wikisource has the text of the 1911 Encyclopædia Britannica article বীজগণিত.

আরও দেখুন

গণিত প্রবেশদ্বার

January 8, 2023

স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা

একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা হচ্ছে এমন একটি ব্যবস্থা যেখানে এক বা একাধিক সংখ্যা, অথবা স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে ইউক্লিডীয় স্পেসে একটি বিন্দু অথবা অন্য জ্যামিতিক উপাদানের অনন্য অবস্থান নির্ণয় করা হয়। ^[১]^[২] স্থানাঙ্ক ক্রম অত্যন্ত তাত্পর্যপূর্ণ এবং কখনও কখনও এদেরকে একটি ক্রমিক সেটের তালিকায় এদের অবস্থানের মাধ্যমে আবার কখনও একটি অক্ষরের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়, যেমন “x-স্থানাঙ্ক”। সাধারণ গণিতে স্থানাঙ্ক হিসেবে সাধারণত বাস্তব সংখ্যা ব্যবহৃত হয়, কিন্তু জটিল সংখ্যা ও হতে পারে একটি অধিকতর বিমূর্ত ব্যবস্থার উপাদান যেমন বিনিময় চক্রের ক্ষেত্রে। একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ব্যবহার করে জ্যামিতিক সমস্যাগুলোকে গাণিতিক সমস্যায়,একইভাবে গাণিতিক সমস্যাগুলোকে জ্যামিতিক সমস্যায় রূপান্তর করা যায়,এটা বৈশ্লেষিক জ্যামিতির ভিত্তি।^[৩]

সাধারণ স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা

জ্যামিতিক বস্তুর স্থানাঙ্ক

রূপান্তর

স্থানাঙ্ক রেখা\বক্র রেখা এবং তল\পৃষ্ঠতল

স্থানাঙ্ক নকশা

পারিপার্শ্বিক স্থানাঙ্ক

January 8, 2023

Author: admin

নির্দিষ্ট ধরণের চলকসমূহ

১/এক ঘাত বিশিষ্ট চলক

২/দ্বিঘাত বিশিষ্ট চলক

প্রমাণ

প্রমাণ এবং উদাহরণ

সংজ্ঞা

উদাহরণ

উদাহরণ

অপেক্ষকের সংযোজন

পরিভাষা ও উদাহরণ

উদাহরণ

অপারেন্ড লেখার নিয়ম

রাশিমালার আকারে অপারেন্ড

গাণিতিক প্রক্রিয়ার ক্রম

রাশিমালায় অপারেন্ডের অবস্থান

ইনফিক্স নোটেশন এবং গাণিতিক প্রক্রিয়ার ক্রম

অ্যারিটি

কম্পিউটার বিজ্ঞান

পটভূমি , অগ্রগতি এবং ইতিহাস

অদ্বৈত সমসংস্থের জন্য মৌলিক সংস্করণ

অহ্রাসকৃত সংস্করণ

সীমানা মানচিত্র

হ্রাসকৃত সংস্করণ

সেফাঁর-ভ্যান কাম্পেঁ তত্ত্বের সঙ্গে সাদৃশ্য

মৌলিক প্রয়োগ

k-গোলক

ক্লেন বোতল

কীলক সমষ্টি

নিলম্বন

পুনরালোচনা

আপেক্ষিক আকার

স্বাভাবিকতা

সহসমসাংস্থিক সংস্করণ

প্রতিপাদন

অন্যান্য সমসংস্থ তত্ত্ব

গুচ্ছ সহসমসংস্থ তত্ত্ব

আরো দেখুন

ব্যুৎপত্তি

বীজগণিত শব্দের বিভিন্ন অর্থ

গণিতের একটি শাখা হিসেবে “বীজগণিত”

ইতিহাস

বীজগণিতের আদি ইতিহাস

বীজগণিতের আধুনিক ইতিহাস

বীজগণিত শব্দটিসহ গণিতের ক্ষেত্রসমূহ

প্রাথমিক বীজগণিত

বহুপদী

বিমূর্ত বীজগণিত

গ্রুপ

রিং এবং ক্ষেত্র

বহিঃসংযোগ

আরও দেখুন

সাধারণ স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা

জ্যামিতিক বস্তুর স্থানাঙ্ক

রূপান্তর

স্থানাঙ্ক রেখা\বক্র রেখা এবং তল\পৃষ্ঠতল

স্থানাঙ্ক নকশা

পারিপার্শ্বিক স্থানাঙ্ক