BCS Question | Online Preparation

Author: admin

স্থানাঙ্ক জ্যামিতি
সনাতন গণিতশাস্ত্রে স্থানাঙ্ক জ্যামিতি একটি গুরুত্বপূর্ণ শাখা। অনেক সময় একে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতিও বলা হয়। এটি সাধারণত কো-অর্ডিনেট জ্যামিতি বা কার্টেসিয়ান জ্যামিতি নামে পরিচিত। এটি সিন্থেটিক জ্যামিতির সম্পূর্ণ বিপরীত।

পদার্থবিদ্যা ও কারিগরী শিক্ষায় এর গুরুত্ব অসীম।

চারটি বিভিন্ন বিন্দুকে স্থানাঙ্ক জ্যামিতির সহায়তায় উপস্থাপন। স্থানাঙ্ক হিসাবে (2,3) সবুজ, (−3,1) রঙা (−1.5,−2.5) নীল এবং মূল বিন্দু (0,0) বেগুনী

স্থানাঙ্ক জ্যামিতি হল জ্যামিতির একটি শাখা, যেখানে সমতলে অবস্থান করা একটি বিন্দুর স্থানকে এক জোড়া সংখ্যার সহায়তায় উপস্থাপন করা হয়। এই সংখ্যাজোড়কে স্থানাঙ্ক বলা হয়।^[১] সমতলে একটি বিন্দুর অবস্থান জানতে একজোড়া অক্ষ ব্যবহার করা হয়। y-অক্ষ থেকে একটি বিন্দুর দূরত্বকে x-স্থানাঙ্ক বা ভুজ বলা হয়। x-অক্ষ থেকে একটি বিন্দুর দূরত্বকে y-স্থানাঙ্ক বা কোটি বলা হয়। x-অক্ষের উপরে থাকা একটি বিন্দুর স্থানাঙ্কের অবস্থান (x, 0) এবং y-অক্ষের উপরে থাকা একটি বিন্দুর স্থানাঙ্কের অবস্থান (0, y)।

স্থানাঙ্ক জ্যামিতির উপাদান সমূহের ধারণা

স্থানাঙ্ক জ্যামিতির ক্ষেত্রটিতে সাধারণত ব্যবহার হয়ে থাকা উপাদান সমূহের মধ্যে,
- x-অক্ষ এবং y-অক্ষ পরস্পরকে ছেদ করা বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 0)
- x-অক্ষের ডান-পক্ষের মান ধনাত্মকএবং x-অক্ষের বাম-পক্ষের মান ঋণাত্মক।
- একইভাবে y-অক্ষের উপরের দিকে ধনাত্মক মান পাওয়া যায় এবং y-অক্ষের নিচে ঋণাত্মক মান সমূহ আসে।
- x-অক্ষ এবং y-অক্ষ পরস্পরকে ছেদ করে মোট চারটি চোখ সৃষ্টি করে এই চোখ সমূহের বিন্দু সমূহের মান (+, +), (-, +), (-, -), (+, -)হয়।
বিন্দুর মাঝের দূরত্ব উপস্থাপন

পরিসর

স্থানাঙ্ক জ্যামিতির পরিসর যথেষ্ট প্রভাবশালী। বীজগণিত, পদার্থবিজ্ঞান, মহাকাশ বিজ্ঞান, অভিযান্ত্রিক, নৌ বিদ্যা, ভূকম্প বিজ্ঞান কাল ইত্যাদি ক্ষেত্র সমূহে স্থানাঙ্ক জ্যামিতির বহুল প্রয়োগ করা হয়। যদি আমরা একজোড়া বিন্দুর স্থানাঙ্ক জানি তবে স্থানাঙ্ক জ্যামিতিকে আমরা বিভিন্ন দিকে ব্যবহার করতে পারি।
- বিন্দু সমূহের মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করতে পারা যায়।
সমতলে থাকা দুটি বিন্দু ( x 1 , y 1 ) $(x_{1},y_{1})$ এবং ( x 2 , y 2 ) $(x_{2},y_{2})$ র মধ্যের দূরত্বকে নীচের সূত্র দ্বারা নির্ণয় করা হয়। d = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 , $d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},\!$

আর এটি হল পিথাগোরাসের সূত্র। স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে একে ‘দূরত্ব সূত্র’ বলা হয়। এর দ্বারা একটি রেখার ভূমির সঙ্গে উৎপন্ন করা কোণের মানও নির্ণয় করা হয়। মূলবিন্দু ( 0 , 0 ) $(0,0)$ র থেকে কোনো একটি বিন্দু ( x , y ) $(x,y)$ র দূরত্ব হবে — d = ( x ) 2 + ( y ) 2 , $d={\sqrt {(x)^{2}+(y)^{2}}},\!$
- কোনো রেখা খণ্ডের জন্য সমীকরণ, মধ্যমান, ঢাল ইত্যাদি নির্ণয় করা যায়।
- কোনো একটি রেখা উলম্ব না সমান্তরাল নির্ণয় করা যায়।
- সমতলে বিন্দু সমূহ সৃষ্টি করা বহুভুজ সমূহের পরিসীমা এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারা যায়।
- কোনো একটি আকৃতিকে প্রতিবিম্বিত করতে স্থানান্তরিত তথা আবর্তন করতে এবং রূপান্তর করতে ব্যবহার করা যায়।
- উপবৃত্ত, বক্র, এবং বৃত্তর সমীকরণ নির্ণয় করতে।^[২]
ইতিহাস

ভারতবর্ষ, গ্রিস, পারস্য ও ইউরোপের বিভিন্ন দেশে একক ভাবে এর উদ্ভব হয়েছিল।

গ্রীকগণিতবিদ মেনেসমাস কিছু গাণিতিক সমস্যা সমাধান এবং তত্ত্বসমূহ প্রমাণের জন্য একটি বিশেষ পদ্ধতি ব্যবহার করেছিলেন যেটি স্থানাঙ্ক জ্যামিতির সঙ্গে বিশেষভাবে সম্পর্কিত। কখনও কখনও তাঁকে অনেকে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি বা স্থানাঙ্ক জ্যামিতির প্রবর্তন করেছিলেন বলে বিশ্বাস করে।^[৩] সমতলে বিন্দুর অবস্থান বর্ণনা করার পদ্ধতিটি ফরাসি গণিতবিদ রেনা ডেকার্টস্ (১৫৯৬ – ১৬৫০) এবং পিয়ের দ্য ফের্মা দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল।^[৪]^[৫] তা হলেও রেনা ডেকার্টসের বহু সময়ে নাম নেওয়া হয়। ^[৬]^[৭] ডেকার্টসের নাম অনুসারে সেই স্থানাঙ্ক জ্যামিতিকে কার্টেসিয়ান জ্যামিতি বলা হয়। ১১শতকে পারস্য গণিতজ্ঞ ওমর খেয়াম জ্যামিতি এবং বীজগণিতের মধ্যে এক দৃঢ় সম্পর্ক উপস্থাপন করেছিলেন। তিনি জ্যামিতিক সমাধান দ্বারা সাধারণ বর্গীয় সমীকরণ নির্ণয়ের সাংখ্যিক এবং জ্যামিতিক বীজগণিতের মধ্যে থাকা দূরত্ব বের করেছিলেন।^[৮]^[৯] অবশ্য ডেকার্টস দ্বারাই প্রকৃত একটি সিদ্ধান্তে উপনীত হওয়া হয়।^[৮]
January 8, 2023
সিসারো সমীকরণ
কোন সমতলীয় বক্ররেখার সিসারো সমীকরণ বক্ররেখাটির নির্দিষ্ট কোন বিন্দুতে বক্রতার (κ) সাথে বক্ররেখার শুরু থেকে প্রদত্ত বিন্দু পর্যন্ত চাপ দৈর্ঘ্যের (s) সম্পর্কের একটি সমীকরণ। একে চাপ দৈর্ঘ্যের বক্রতার ব্যাসার্ধ (R) সম্পর্কিত সমীকরণ হিসেবেও প্রতিপাদন করা যায়, যেহেতু বক্রতার ব্যাসার্ধ ও চাপ দৈর্ঘ্য পরস্পর সম্পর্কযুক্ত এবং R = 1/κ। দুটি সর্বসম বক্ররেখার জন্য একই সিসারো সমীকরণ থাকবে। দৈর্ঘ্য ও কোণ সংরক্ষণ করে এমন রূপান্তরসমূহেরের ক্ষেত্রে সিসারো সমীকরণ ইনভেরিয়েন্ট (অপরিবর্তিত) থাকায় একে সাংসিদ্ধিক (intrinsic) বলা হলেও এটি সাংসিদ্ধিক নয় কারণ চাপ দৈর্ঘ্য যে বিন্দু থেকে হিসাব করা হয় এটি তার উপর নির্ভর করে।^[১] ইতালীয় গণিতবিদ আর্নেস্টো সিসারোর নামানুসারে এই সমীকরণের নামকরণ করা হয়েছে।

উদাহরণ

সিসারো সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করতে গেলে কিছু কিছু বক্ররেখার অতি সাধারণ প্রতিরূপ পাওয়া যায়। কিছু উদাহরণ দেওয়া হল:
- রেখা: κ = 0 $\kappa =0$ .
- বৃত্ত: κ = 1 α $\kappa ={\frac {1}{\alpha }}$ , যেখানে α ${\alpha }$ হচ্ছে ব্যাসার্ধ
- লগারিদমিক সর্পিল রেখা: κ = C s $\kappa ={\frac {C}{s}}$ , যেখানে C $C$ একটি ধ্রুবক।
- বৃত্তের ইনভলিউট: κ = C s $\kappa ={\frac {C}{\sqrt {s}}}$ , যেখানে C $C$ একটি ধ্রুবক।
- শিঙাকৃতির সর্পিল রেখা: κ = C s $\kappa =Cs$ , যেখানে C $C$ একটি ধ্রুবক।
- শৃঙ্খলাকৃতির রেখা: κ = a s 2 + a 2 $\kappa ={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}$
আনুষঙ্গিক পরামিতিকরণসমূহ

কোন বক্ররেখার হিউল সমীকরণের সাথে এর সিসারো সমীকরণের সম্পর্কটি এমন: যদি φ =f (s) বক্ররেখার হিউল সমীকরণকে নির্দেশ করে তাহলে সিসারো সমীকরণটি হবে κ = f ′(s)
January 8, 2023
সাজিটা (জ্যামিতি)

যে কোন বৃত্তচাপের কেন্দ্র থেকে এর ভিত্তির দূরত্বকে^[১] সাজিটা (sagitta বা sag^[২]) বলা হয়। এই শব্দটি স্থাপত্যবিদ্যায় নির্দিষ্ট উচ্চতা বা দূরত্বে স্প্যানিংয়ের ^[৩] প্রয়োজনে বৃত্তচাপের হিসাব কার্যে ব্যাপকহারে ব্যবহৃত হয়। এছাড়া আলোক বিজ্ঞানে গোলীয় দর্পণ ও লেন্সের গভীরতা নির্দেশ করতেও এর প্রয়োগ করা। শব্দটি সরাসরি ল্যাটিন থেকে এসেছে যার অর্থ শর বা তীর।

সূত্র

ধরাযাক, কোন বৃত্তচাপের গভীরতা বা উচ্চতা s $s$ , বৃত্তচাপের বা সংশ্লিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ r $r$ এবং বৃত্তচাপের প্রান্তবিন্দু দুটিকে সংযোগকারী^[৪] রেখা তথা জ্যা এর অর্ধাংশের দৈর্ঘ্য ℓ $\ell$ ।

এখন, ℓ $\ell$ ও r − s $r-s$ একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন দুই বাহু এবং r $r$ ঐ ত্রিভুজের অতিভূজ হওয়ায় পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই— r 2 = ℓ 2 + ( r − s ) 2 . $r^{2}=\ell ^{2}+(r-s)^{2}.$

এই সমীকরণকে পুনর্বিন্যাস করে নিম্নোক্ত সমীকরণ তিনটি পাওয়া যাবে— s = r − r 2 − ℓ 2 , $s=r-{\sqrt {r^{2}-{\ell ^{2}}}},$ ℓ = 2 r s − s 2 , $\ell ={\sqrt {2rs-s^{2}}},$ or r = s 2 + ℓ 2 2 s = s 2 + ℓ 2 2 s . $r={\frac {s^{2}+\ell ^{2}}{2s}}={\frac {s}{2}}+{\frac {\ell ^{2}}{2s}}.$

এছাড়াও ভারসাইন ফাংশন থেকেও সাজিটার পরিমাপ করা যায়। যেমন—একক বৃত্তের ক্ষেত্রে বৃত্তচাপের স্প্যান কোণ Δ = 2θ হলে এবং বৃত্তচাপটি ভারসাইনের অনুরূপ হলে সাজিটার পরিমাপ হবে— s = r versin ⁡ θ = r ( 1 − cos ⁡ θ ) = 2 r sin 2 ⁡ θ 2 . $s=r\operatorname {versin} \theta =r\left(1-\cos \theta \right)=2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.$

আসন্ন মান

সাজিটার দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের তুলনায় ক্ষুদ্র হলে নিচের সূত্র থেকে এর আসন্ন মান পাওয়া যায়: s ≈ ℓ 2 2 r $s\approx {\frac {\ell ^{2}}{2r}}$ .^[৫]

বিপরীতক্রমে, সাজিটা ছোট হলে এবং সাজিটা, ব্যাসার্ধ ও অর্ধ-জ্যা এর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে বৃত্তচাপ-দৈর্ঘ্য a $a$ এর আসন্ন মান নির্ণয়ে নিম্নোক্ত সূত্র প্রয়োগ করা যেতে পারে— a ≈ ℓ + s 2 r $a\approx \ell +{\frac {s^{2}}{r}}$

এই সূত্রটি চিনা গণিতবিদ শেন কুওর জানা ছিল। দুই শতাব্দী পরে গুও শৌজিং চাপ-দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের ক্ষেত্রে সাজিটার সাথে সম্পর্কযুক্ত আরো নিখুঁত একটি সূত্রের^{[স্পষ্টকরণ প্রয়োজন]} উন্নয়ন ঘটান।^[৬]

প্রয়োগ

বাঁকা-চ্যাপ্টা কাঠামো যেমন— বাঁকা দেয়াল, বৃত্তচাপ আকৃতির ছাদ ও সেতু নির্মাণসহ অন্যান্য অসংখ্য কাজে স্থপতি, প্রকৌশলী এবং ঠিকাদারেরা এই সমীকরণসমূহ প্রয়োগ করেন।

এছাড়া পদার্থবিজ্ঞানে ত্বরিত কণার বক্রতার ব্যাসার্ধ নির্ণয়ে জ্যা-দৈর্ঘ্যসহ সাজিটাও ব্যবহার করা হয়। বিশেষকরে, বুদবুদ চেম্বার পরীক্ষণে ক্ষয় কণাসমূহের ভরবেগ নির্ণয়ে এটা ব্যবহৃত হয়।

January 8, 2023
সমতল জ্যামিতি
সমতল জ্যামিতি (ইংরেজি: Plane geometry) জ্যামিতির একটি প্রাথমিক শাখা যেখানে সমতল পৃষ্ঠ ও সমতল-পৃষ্ঠবিশিষ্ট জ্যামিতিক বস্তু, যেমন ত্রিভুজ, বৃত্ত ইত্যাদি নিয়ে গবেষণা করা হয়। শাখাটি বিখ্যাত গ্রিক গণিতবিদ ইউক্লিডের নামানুসরণে ইউক্লিডীয় জ্যামিতি (Euclidean geometry) নামেও পরিচিত। ইউক্লিড প্রথম খ্রিস্টপূর্ব ৪র্থ শতকে এই শাখাটি অধ্যয়ন করেন। তার লেখা ইলিমেন্টস ১৯শ শতকে অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতির আবির্ভাবের পূর্ব পর্যন্ত জ্যামিতির প্রধানতম পাঠ্যপুস্তক হিসেবে গণ্য করা হত এবং এখনো বইটি জ্যামিতির প্রথম পাঠ্য হিসাবে বিবেচিত।

দে স গণিত

বিষয়শ্রেণীসমূহ:
- গাণিতিক ধারণা
- জ্যামিতি
- এ পৃষ্ঠায় শেষ পরিবর্তন হয়েছিল ০২:৩৯টার সময়, ২৫ মার্চ ২০২২ তারিখে।
- লেখাগুলো ক্রিয়েটিভ কমন্স অ্যাট্রিবিউশন/শেয়ার-আলাইক লাইসেন্সের আওতাভুক্ত; এর সাথে বাড়তি শর্ত প্রযোজ্য হতে পারে। এই সাইট ব্যবহার করার মাধ্যমে, আপনি এটি ব্যবহারের শর্তাবলী ও এর গোপনীয়তা নীতির সাথে সম্মত হচ্ছেন। উইকিপিডিয়া®, অলাভজনক সংস্থা উইকিমিডিয়া ফাউন্ডেশনের একটি নিবন্ধিত ট্রেডমার্ক।
January 8, 2023

সংখ্যারেখা

বাস্তব সংখ্যাকে জ্যামিতিক আকারে প্রকাশের উপায় হচ্ছে সংখ্যারেখা। সংখ্যারেখা একটি সরলরেখা যা দু’দিকেই অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত। এর মধ্যবিন্দুকে শূন্য ধরে ডানদিকে ধনাত্মক এবংবামদিকে ঋণাত্মক সংখ্যাগুলিকে বসিয়ে বাস্তব সংখ্যা কে জ্যামিতিকভাবে উপস্থাপন করা হয়।

সংখ্যারেখা

নওমী

গণিত বিষয়ক এই নিবন্ধটি অসম্পূর্ণ। আপনি চাইলে এটিকে সম্প্রসারিত করে উইকিপিডিয়াকে সাহায্য করতে পারেন।

বিষয়শ্রেণীসমূহ:

এ পৃষ্ঠায় শেষ পরিবর্তন হয়েছিল ০৪:০৫টার সময়, ১ সেপ্টেম্বর ২০২২ তারিখে।
লেখাগুলো ক্রিয়েটিভ কমন্স অ্যাট্রিবিউশন/শেয়ার-আলাইক লাইসেন্সের আওতাভুক্ত; এর সাথে বাড়তি শর্ত প্রযোজ্য হতে পারে। এই সাইট ব্যবহার করার মাধ্যমে, আপনি এটি ব্যবহারের শর্তাবলী ও এর গোপনীয়তা নীতির সাথে সম্মত হচ্ছেন। উইকিপিডিয়া®, অলাভজনক সংস্থা উইকিমিডিয়া ফাউন্ডেশনের একটি নিবন্ধিত ট্রেডমার্ক।

January 8, 2023

লম্ব-ভর বৃত্ত

কোন বিষম বাহু ত্রিভুজের লম্ব-ভর বৃত্ত হল এমনই একটি বৃত্ত যেখানে ত্রিভুজটির লম্বকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র দুটি উক্ত বৃত্তের কোন একটি ব্যাসের দু’প্রান্তে অবস্থান করে। এছাড়াও ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্রও উক্ত বৃত্তের বাইরে ঐ একই ব্যাসের বর্ধিতাংশের উপর থাকবে। অধিকন্তু ত্রিভুজটির নয়-বিন্দুর কেন্দ্র ঐ ব্যাসের উপর অবস্থান করে। লম্ব-ভর বৃত্তটির ব্যাস অয়লার রেখার একটি উপসেট।

অস্ট্রেলিয়ার গণিতবিদ অ্যান্ড্রু গুইন্যান্ড (১৯১২-৮৭) ১৯৮৪ সালে দেখান যে, ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র অবশ্যই লম্ব-ভর বৃত্তের অভ্যন্তরে বিদ্যমান তবে এটি কখনোই নব-বিন্দুর কেন্দ্রের সাথে মিলিত হবে না।^[১]^[২]^[৩]^[৪] ^[৫]^{:পৃ. ৪৫১–৪৫২}

অধিকন্তু ফার্মাট বিন্দু, গর্গন বিন্দু এবং সীমেডিয়ান বিন্দু খোলা লম্ব-ভর চাকতির অভ্যন্তরে যেকোন বিন্দুতে অবস্থান করতে পারে যেখানে এটি তার নিজস্ব কেন্দ্রকে ভেদ করে। অপরদিকে মিটনপাঙক্ট কেন্দ্রটি অন্য কোন খোলা লম্ব-ভর চাকতির অভ্যন্তরে যেকোন বিন্দুতে অবস্থান করে এবং একইভাবে দ্বিতীয় ফার্মাট বিন্দু লম্ব-ভর বৃত্তটির বাইরে যেকোন বিন্দুতে অবস্থান করতে পারে। উল্লেখ্য যে, ত্রিভুজটির বাহুগুলো পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও সীমেডিয়ান বিন্দুর উপর নির্ভর করে।^[৬]

এছাড়াও যেকোন বা যেকোন সংখ্যক ব্রোকার্ড বিন্দুর সম্ভাব্য অবস্থাসমূহের সেট খোলা লম্ব-ভর চাকতিটিকে নির্দেশ করে। সংশ্লিষ্ট ত্রিভুজটি পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও ব্রোকার্ড বিন্দুসমূহের অবস্থানের দ্বারা নির্ধারিত হয় এবং এ ক্ষেত্রে কখনো কখনো একটি মাত্র ব্রোকার্ড বিন্দুই যথেষ্ট।^[৭]

লম্ব-ভর বৃত্তের ব্যাসের বর্গ হল: D 2 − 4 9 ( a 2 + b 2 + c 2 ) , $D^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}),$ যেখানে a, b, এবং c হল ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের দৈর্ঘ্য এবং D হল পরিবৃত্তের ব্যাস।^[৮]^:p.১০২

বিশেষ দ্রষ্টব্য

কোন ত্রিভুজের Orthocentroidal circle ত্রিভুজটির লম্বকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্রের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্ক যুক্ত। তাই Orthocentroidal circle এর বাংলা হিসেবে লম্ব-ভর বৃত্ত শব্দগুচ্ছ চয়ন করা হল।

January 8, 2023
মিনকভস্কি স্থান
মিনকভস্কি স্থান (ইংরেজি: Minkowski space) (/mɪŋˈkɔːfski, -ˈkɒf-/^[১]) পদার্থবিজ্ঞানের একটি ধারণা, আইনস্টাইনের আপেক্ষিকতার বিশেষ তত্ত্ব যার মাধ্যমে ব্যাখ্যা করা হয়। জার্মান গণিতবিদ হেরমান মিনকভস্কির নামানুসারে এর নাম রাখা হয়েছে। নাম স্থান হলেও এতে স্থানের তিনটি মাত্রা এবং কালের একটি মাত্রাকে একত্রিত করা হয়। অর্থাৎ মিনকভস্কি স্থান একটি চতুর্মাত্রিক বিশ্বব্যবস্থা। গণিতের ভাষায়, এটি হচ্ছে স্থানকালকে ব্যাখ্যা করার একটি চতুর্মাত্রিক বহুধা (ম্যানিফোল্ড)।

তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানে মিনকভস্কি স্থানের সাথে ইউক্লিডীয় স্থানের পার্থ্যক্য করা জরুরী। ইউক্লিডীয় স্থানের সবগুলো মাত্রাই স্থানসদৃশ, যেখানে মিনকভস্কি স্থানে একটি কালসদৃশ মাত্রা রয়েছে। তাই প্রতিসাম্য শ্রেণী অনুযায়ী যদি এই দুটি ম্যানিফোল্ডকে ভাগ করা হয় তবে ইউক্লিডীয় স্থান ইউক্লিডীয় শ্রেণীর অন্তর্ভুক্ত হবে, কিন্তু মিনকভস্কি স্থান পড়বে পোয়াঁকারে শ্রেণীর মধ্যে।

স্থানীয় সমতল স্থানকাল

মিনকভস্কি স্থানের ধারণা কেবল সমতল স্থানকালের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যায়। অর্থাৎ সসীম দূরত্বে কেবল নিউটনীয় সীমার মধ্যে থাকলেই এর প্রয়োগ সম্ভব, উপরন্তু মহাকর্ষের প্রভাবও এখানে নগণ্য মনে করতে হয়। কারণ মহাকর্ষের প্রভাবে স্থানকাল বেঁকে যায়, আর বক্র স্থানকালে মিনকভস্কি স্থান অচল হয়ে পড়ে। তখন আমাদেরকে বিশেষ আপেক্ষিকতা ছেড়ে সাধারণ আপেক্ষিকতার আশ্রয় নিতে হয়। সাধারণ আপেক্ষিকতায় সামগ্রিকভাবে স্থানকে ব্যাখ্যা করা হয়, এটি যেকোন ধরনের স্থানকালের জন্য প্রযোজ্য, তা বক্রই হোক আর সমতলই হোক।

তথাপি কোন বিন্দুর নিকটে ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র একটি পরিমণ্ডলে (মহাকর্ষীয় ব্যতিক্রমী বিন্দু অগ্রাহ্য করে) মিনকভস্কি স্থানের ধারণা প্রয়োগ করা খুব কার্যকরী। আরও বিমূর্তভাবে বলা যায়, মহাকর্ষের উপস্থিতিতে স্থানকালকে একটি চতুর্মাত্রিক ম্যানিফোল্ড হিসেবে বর্ণনা করা হয়, এই চতুর্মাত্রিক ম্যানিফোল্ডের যেকোন বিন্দুতে অবস্থিত স্পর্শকীয় স্থানই হচ্ছে চতুর্মাত্রিক মিনকভস্কি স্থান। এজন্য সাধারণ আপেক্ষিকতা বর্ণনা করতেও মিনকভস্কি স্থানের প্রয়োজন পড়ে।

মহাকর্ষের প্রভাব খুব কম হলে, কেবল স্থানীয় নয় বরং বৈশ্বিকভাবেও স্থানকালকে সমতল তথা মিনকভস্কি মনে হয়। এজন্য মিনকভস্কি স্থানকে অনেক সময় সমতল স্থানকাল বলা হয়।

আরও দেখুন
January 8, 2023
ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্য

কোন চতুর্ভুজের শীর্ষ বিন্দু চারটি একটি বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থান করলে চতুর্ভুজটিকে বৃত্তীয় চতুর্ভুজ বলা হয়। আবার চতুর্ভুজ কর্ণদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে এটি হবে লম্বকর্ণ চতুর্ভুজ। এখন একটি বৃত্তীয় চতুর্ভুজ লম্বকর্ণ চতুর্ভুজ হলে অর্থাৎ বৃত্তের অন্তস্থ কোন চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরের লম্ব হলে কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু থেকে চতুর্ভুজটির যেকোন বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বটি সর্বদা ঐ বাহুর বিপরীত বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে।^[১] এটিই ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্য যা প্রাচীন ভারতীয় গণিতবিদ ও জ্যোতির্বিজ্ঞানী ব্রহ্মগুপ্তের (৫৯৮-৬৬৮)নামানুসারে নামকরণ করা হয়েছে।^[২]

আরও ভালোভাবে বোঝার জন্য বৃত্তের পরিধিস্থ A, B, C এবং D বিন্দু চারটি বিবেচনা করা যাক যেখানে AC ও BD রেখা দুটি পরস্পরের লম্ব এবং এদের ছেদবিন্দু M দ্বারা সূচিত। M বিন্দুটি থেকে BC রেখাংশের উপর EM লম্বটি টানা হল যা BC কে E বিন্দুতে ছেদ করে। EM এর বর্ধিতাংশ MF টানা যাক যা আবার AD কে F বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্যের বর্ণনা অনুসারে F হল AD এর মধ্যবিন্দু।

প্রমাণ

ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্যের প্রমাণ।

আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, AF = FD । AF এবং FD উভয়ই যে আদতে FM এর সমান আমরা এখন সেটা প্রমাণ করব।

যেহেতু ∠CBD এবং ∠CAD দুটি কোণই একই বৃত্তের অন্তর্লিখিত কোণ এবং উভয়ই একই চাপের উপর অবস্থিত তাই এরা পরস্পর সমান। ∠CBD = ∠CAD – – – – – (i)

যেহেতু BCM সমকোণী ত্রিভুজে কোণ ∠BMC এক সমকোণ সুতরাং ∠CBD + ∠BCM = ১ সমকোণ – – – – – (ii)

একইভাবে MEC ত্রিভুজের ক্ষেত্রেও কোণ ∠MEC এক সমকোণ। সুতরাং ∠CME + ∠BCM = ১ সমকোণ – – – – – (iii)

অতএব (ii) এবং (iii) নং থেকে পাই— ∠CBD + ∠BCM = ∠CME + ∠BCM = ১ সমকোণ বা, ∠CBD = ∠CME – – – – – (iv)

আবার ∠CME ও ∠AMF পরস্পরের বিপ্রতীপ কোণ হওয়ায় এরা পরস্পরের সমান। ∠CME = ∠AMF – – – – – (v)

সুতরাং (i), (iv) এবং (v) নং সমীকরণ থেকে পাই— ∠CBD = ∠CAD = ∠CME = ∠AMF বা, ∠CAD = ∠AMF বা, ∠MAF = ∠AMF

তাহলে দেখা যাচ্ছে যে, AFM ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু। ফলে AF ও FM বাহু দুটি পরস্পর সমান। AF = FM

একইভাবে দেখানো যায় যে, ∠FDM, ∠BCM, ∠BME এবং ∠DMF কোণ চারটি পরস্পর সমান। ফলে DFM ত্রিভুজটিও সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। যার দরুন FD ও FM বাহু দুটি পরস্পরের সমান। FD = FM

সুতরাং আমরা পাচ্ছি— AF = FD = FM

যা ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্যে বলা হয়েছে।

January 8, 2023
ব্যাসার্ধ ভেক্টর

ব্যাসার্ধ ভেক্টর(ইংরেজি: Radius Vector) যা অনেক সময় ‘অবস্থান ভেক্টর’ নামেও পরিচিত , এটি একটি ইউক্লিডিও ভেক্টর যা একটি সাপেক্ষ বিন্দু বা মূল বিন্দু ‘O’ এর সাপেক্ষে সমতলে অন্য যেকোন বিন্দু ‘P’ এর অবস্থান(দুরত্ব) নির্দেশ করে। ব্যাসার্ধ ভেক্টরকে সাধারনত r দ্বারা প্রকাশ করা হয়। ব্যাসার্ধ ভেক্টর মূলত মূলবিন্দু ‘O’ থেকে সমতলে অন্য যেকোন একটি বিন্দু ‘P’ এর সরল রৈখিক দুরত্ব নির্দেশ করে।:^[১] r = O P → . $\mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}.$

ব্যাসার্ধ ভেক্টর সবচেয়ে বেশি ব্যবহহৃত হয় ব্যবকলনীয় জ্যামিতি এবং মেকানিক্স এর বিভিন্নক্ষেত্রে তবে মাঝে ভেক্টরিয়াল ক্যালকুলাসেও এর ব্যবহার রয়েছে ।

সাধারনত দ্বিমাত্রিক ও ত্রিমাত্রিক জ্যামিতিতে ব্যাসার্ধ ভেক্টরের মাধ্যমে মূল বিন্দু থেকে অন্য বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করলেও ইউক্লিডিয় জ্যাম্যতিতে যে কোন মাত্রার সমতলে ব্যাসার্ধ ভেক্টরের মাধ্যমে বিন্দুর অবস্থান প্রকাশ করা যায়।^[২]

দ্বিমাত্রিক

পোলার স্থানাংক ব্যবস্থায় প্রকাশিত দুটি বিন্দু যেখানে ‘r’ ব্যাসার্ধ ভেক্টর নির্দেশ করছে।

দ্বিমাত্রিক স্থানাংক ব্যবস্থায় পোলার স্থানাংক ব্যবস্থায় বিন্দুর অবস্থান প্রকাশ করা হয় ( r , θ ) $(r,\theta )$ এর মাধ্যমে। এখানে r হল ব্যাসার্ধ ভেক্টর। [[কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থা|কার্তেসী স্থানাংক ব্যবস্থায় বিন্দুর অবস্থান প্রকাশ করা হয় (x,y) এর মাধ্যমে। কার্তেসীয় মাধ্যমে ব্যাসার্ধ ভেক্টর- r = ( x 2 + y 2 ) $r={\sqrt {(}}x^{2}+y^{2})$

ত্রিমাত্রিক

ত্রিমাত্রিক বক্ররেখা। ব্যাসার্ধ ভেক্টর r স্কেলার রাশি t এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়েছে। লাল রঙের সরলরেখা বক্ররেখার স্পর্শক এবং নীল অংশটুকু অভিলম্ব নির্দেশ করছে।

ত্রিমাত্রিক ব্যবস্থায়, যেকোন বিন্দুর ত্রিমাত্রিক স্থানংক এবং সাধারনত ত্রিমাত্রিক ভেক্টরের মাধ্যমে সমতলে যে কোন বিন্দুর অবস্থান সহজেই প্রকাশ করা যায়। এজন্য সাধারনত কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থা ব্যবহার করা হয়।I r ( t ) ≡ r ( x , y , z ) ≡ x ( t ) e ^ x + y ( t ) e ^ y + z ( t ) e ^ z ≡ r ( r , θ , ϕ ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) , ϕ ( t ) ) ≡ r ( r , θ , z ) ≡ r ( t ) e ^ r ( θ ( t ) ) + z ( t ) e ^ z ⋯ ${\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} \left(x,y,z\right)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} \left(r,\theta ,\phi \right)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}(\theta (t),\phi (t))\\&\equiv \mathbf {r} \left(r,\theta ,z\right)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}(\theta (t))+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\,\!\cdots \\\end{aligned}}$

যেখানে t এর মাধ্যমে বিভিন্ন আকারের সমতলে বিভিন্ন অক্ষের দিকে দুরত্বকে প্রকাশ করা হয়েছে করছে। এখানে একটি বিন্দুর অবস্থান প্রকাশে তিন প্রকারের অক্ষীয় ব্যবস্থা নির্দেশ করলেও তা মুলত একটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টরকেই প্রকাশ করছে।

বহুমাত্রিক

রৈখিক বীজগণিতে বহুমাত্রিক ব্যাসার্ধ ভেক্টরের অস্তিত রয়েছে। একটি ব্যাসার্ধ ভেক্টেরকে অনেকগুলো সাধারন ভেক্টরের সমন্নয় হিসাবে প্রকাশ করা হয় যা বহুমাত্রিক সমতলে মূল অক্ষে থেকে বিন্দুর অবস্থান প্রকাশ করে।^[৩]^[৪] r = ∑ i = 1 n x i e i = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ x n e n $\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots x_{n}\mathbf {e} _{n}$

January 8, 2023
ব্যাসার্ধ

চিরায়ত জ্যামিতিতে, কোন বৃত্ত বা গোলকের কেন্দ্র থেকে এর পরিধি পর্যন্ত অঙ্কিত যে কোন রেখাংশই ঐ বৃত্ত বা গোলকের ব্যাসার্ধ, আরো আধুনিক ব্যবহারের ক্ষেত্রে যাকে বৃত্ত বা গোলকের কেন্দ্র বলা হয়। একে বৃত্ত বা গোলকের পরিধির মধ্যকার দূরত্বও বলা হয়। গ্রীক dʌɪˈamɪtə (diameter) এর বাংলা পরিভাষা হিসেবে সংস্কৃত ব্যাস এবং ল্যাটিন ˈreɪdɪəs (radius) এর বাংলা পরিভাষা হিসেবে ব্যাসার্ধ শব্দটি নেওয়া হয়েছে। ল্যাটিন ভাষায় ˈreɪdɪəs শব্দের অর্থ রশ্মি, যষ্ঠি, অর, রথের চাকার স্পোক।^[১] ব্যাসার্ধকে সংক্ষিপ্ত আকারে প্রকাশের ক্ষেত্রে সাধারণত r চলকটি ব্যবহার করা হয় এবং ব্যাস d কে ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা:^[২] d ≐ 2 r ⇒ r = d 2 . $d\doteq 2r\quad \Rightarrow \quad r={\frac {d}{2}}.$

যদি কোন বস্তুর কেন্দ্র না থাকে তবে একে পরিলিখিত বৃত্ত বা পরিলিখিত গোলকের ব্যাসার্ধ তথা পরিব্যাসার্ধ বলা যায়। উভয় ক্ষেত্রেই ব্যাসার্ধ কোন ব্যাসের অর্ধাংশকে বোঝানো ছাড়াও আরো বেশি কিছু নির্দেশ করতে পারে যেখানে সচরাচর একে একটি আকৃতির যেকোন দুটি বিন্দুর মধ্যকার সর্বোচ্চ দূরত্ব হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। সাধারণভাবে কোন জ্যামিতিক আকৃতির মধ্যে আবদ্ধ বৃহত্তম বৃত্ত বা গোলকের ব্যাসার্ধই ঐ জ্যামিতিক কাঠামোটির অন্তঃব্যাসার্ধ। একটি বলয়, নল বা অন্য কোন ফাঁপা বস্তুর গহ্বরের ব্যাসার্ধ হল এর অভ্যন্তরীণ ব্যাসার্ধ।

কোন সুষম বহুভুজের ব্যাসার্ধ এর পরিব্যাসার্ধের মতই।^[৩] একটি বহুভুজের কেন্দ্র থেকে এর যেকোন বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে অ্যাপথেম বলা হয়। সুষম বহুভুজের অন্তঃব্যাসার্ধকেও অ্যাপথেম বলা হয়ে থাকে। গ্রাফ তত্ত্বে কোন লেখ বা গ্রাফের ব্যাসার্ধ হল u থেকে গ্রাফের যে কোন শীর্ষবিন্দুর সর্বোচ্চ দূরত্বের সকল u শীর্ষবিন্দুসমূহের মধ্যে সর্বনিম্ন দূরত্ব(?)।^[৪]

C $C$ পরিসীমা (পরিধি) যুক্ত বৃত্তের ব্যাসার্ধ হল r = C 2 π . $r={\frac {C}{2\pi }}.$

সূত্র

প্রায় সকল জ্যামিতিক কাঠামোর বিভিন্ন পরামিতির সাথে কাঠামোটির ব্যাসার্ধের একটি সুনির্দিষ্ট সম্পর্ক রয়েছে।

বৃত্ত

আরও দেখুন: বৃত্তের ক্ষেত্রফল

A $A$ ক্ষেত্রযুক্ত বৃত্তের ব্যাসার্ধ হল r = A π . $r={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}.$

P₁, P₂ ও P₃ বিন্দু তিনটি সমরৈখিক বিন্দু না হলে এবং বৃত্তটি এদের উপর দিয়ে গমন করলে সাইনের সূত্র ব্যবহার করে ব্যাসার্ধকে নিম্নোক্তভাবে লেখা যায়— r = | O P 1 → − O P 3 → | 2 sin ⁡ θ , $r={\frac {|{\vec {OP_{1}}}-{\vec {OP_{3}}}|}{2\sin \theta }},$

এখানে θ হল ∠P₁P₂P₃ কোণের মান। বিন্দু তিনটিকে (x₁,y₁), (x₂,y₂) এবং (x₃,y₃) কার্তেসীয় স্থানাংকে সূচিত করা হলে ব্যাসার্ধকে নিম্নরূপে প্রকাশ কার যায়— r = [ ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 ] [ ( x 2 − x 3 ) 2 + ( y 2 − y 3 ) 2 ] [ ( x 3 − x 1 ) 2 + ( y 3 − y 1 ) 2 ] 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 − x 1 y 3 − x 2 y 1 − x 3 y 2 | . $r={\frac {\sqrt {[(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}][(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}][(x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}]}}{2|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}|}}.$

সুষম বহুভুজ

আরও দেখুন: পরিলিখিত বৃত্ত

n R_n
3 0.577350…
4 0.707106…
5 0.850650…
6 1.0
7 1.152382…
8 1.306562…
9 1.461902…
10 1.618033…

n=4 সংখ্যক বাহু যুক্ত সুষম বহুভুজ (বর্গ)

কোন সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n এবং প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য s হলে এর ব্যাসার্ধ হবে— r = R_ns

যেখানে, R n = 1 / ( 2 sin ⁡ π n ) $R_{n}=1\left/\left(2\sin {\frac {\pi }{n}}\right)\right.$ । তালিকায় n এর ক্ষুদ্র মানের জন্য R_n মান দেওয়া হয়েছে। এছাড়াও এই মানগুলো s = 1 এর জন্য সংশ্লিষ্ট সুষম বহুভুজগুলির ব্যাসার্ধসমূকে নির্দেশ করে।

পরাঘনক

সাধারণভাবে চার বা ততোধিক মাত্রার যে জ্যামিতিক কাঠামোকে ত্রিমাত্রিক ঘনকের সমতূল্য বিবেচনা করা যায় তাকে পরাঘনক (hypercube) বলা হয়। s বাহু যুক্ত এবং d-মাত্রিক পরাঘনকের ব্যাসার্ধ হল— r = s 2 d . $r={\frac {s}{2}}{\sqrt {d}}.$

স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ব্যাসার্ধের ব্যবহার

কার্তেসীয়, মেরু, গোলীয়, বেলনাকার সহ অন্যান্য স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ব্যাসার্ধের আবশ্যিক প্রয়োগ রয়েছে।

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক

মেরু স্থানাঙ্ক

মূল নিবন্ধ: পোলার স্থানাংক ব্যবস্থা

মেরু স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা এক ধরনের দ্বি–মাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা যেখানে কোন সমতলের প্রতিটি বিন্দুকে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে এর দূরত্ব এবং একটি দিক নির্দিষ্ট থেকে কোণের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

কার্তেসীয় ব্যবস্থার উৎসের সাথে তুলনীয় নির্দিষ্ট বিন্দুকে মেরু বলা হয় এবং মেরু থেকে নির্দিষ্ট দিকে অঙ্কিত রশ্মিকে মেরু অক্ষ বলে। মেরু থেকে অঙ্কিত দূরত্ব হল অরীয় বা রেডিয়াল স্থানাঙ্ক বা ব্যাসার্ধ এবং কোণটি হল কৌণিক স্থানাঙ্ক, মেরু কোণ বা দিগংশ।^[৫]

বেলনাকার স্থানাঙ্ক

মূল নিবন্ধ: বেলনাকার স্থানাঙ্ক

বেলনাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি পছন্দ মাফিক (পূর্ব নির্ধারিত) প্রসঙ্গ অক্ষ এবং এই অক্ষটির লম্বদিকে একটি পছন্দ মাফিক (পূর্ব নির্ধারিত) প্রসঙ্গ তল থাকে। বেলনাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার উৎস এমন একটি বিন্দু যেখানে সকল তিন স্থানাঙ্ককে শূন্য ধরা যেতে পারে। এই ব্যবস্থা হল প্রসঙ্গ তল এবং অক্ষের অন্তচ্ছেদ।

গোলীয় স্থানাঙ্ক

January 8, 2023