Category: গাণিতিক যুক্তি

Mathematical logic

ত্রিপদী (গণিত)
প্রাথমিক বীজগণিতের পরিভাষায় ত্রিপদী (ইংরেজি: Trinomial) এমন একটি বহুপদী গাণিতিক রাশি যাতে তিনটি একপদী রাশি যোজন বা বিযোজন সম্পর্কে যুক্ত থাকে। প্রতিটি রাশি একটি চলক এবং একটি সহগ (ধনাত্মক ধ্রুব রাশি) -এর গুণফল হিসেবে প্রকাশিত হয়।

যেমন: x − 7 x y + 9 $x-7xy+9$ একটি ত্রিপদী রাশি। এখানে x $x$ ও y $y$ হলো চলক, 7 $7$ হলো সহগ।
- ত্রিপদী রাশিগুলিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা সম্ভব।
January 8, 2023
ডোমেইন (গণিত)
সাধারণ ভাবে যেকোন বস্তু বা বিষয়ের সুসংহত এবং সন্নিবদ্ধ সংগ্রহ কে একত্রিত ভাবে যেই নাম বা পরিসর দ্বারা বুঝানো হয় তাকে ডোমেইন বলে। আর গণিতের ভাষায় ঐ সংগ্রহ পরিসীমাকে রেন্জ বলে।^{[তথ্যসূত্র প্রয়োজন]}

গাণিতিক ব্যখ্যায় ডোমেইন

গণিতের ভাষায়, ডোমেইন হলো একটি ফাংশানকে সংজ্ঞায়িত করতে পারে এমন সদস্যের সেট। অন্যভাবে বলা যায়, কোন একটি নির্দিষ্ট শর্তকে পূরণ করতে পারে এমন উপাদানের সম্মিলিত সংগ্রহই একটি ফাংশন এর ডোমেইন। কার্টেসিয়ান সমতলে x অক্ষকে ডোমেইন বলা হয়।

উদাহরণ: f(x) = 2 x − 5 ${\sqrt {2x-5}}$ ফাংশনটির ডোমেন নির্ণয়ের ক্ষেত্রে x এর মান 5 2 ${5 \over 2}$ অথবা 5 2 ${5 \over 2}$ এর চেয়ে বড় যে কোনো সংখ্যাটির জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হয়।

তাহলে, f(x) ফাংশনটির ডোমেন, D_f = { x ∈ R : x ⩾ 5 2 } $\{x\in R:x\geqslant {\frac {5}{2}}\}$

ফাংশনের ডোমেইন

যদি X সেট হতে Y সেটে f একটি ফাংশন হয়, তবে তাকে f:X→Y লিখে প্রকাশ করা হয়। X সেটকে f:X→Y ফাংশনের ডোমেন (domain) এবং Y সেটকে এর কোডোমেন (codomain) বলা হয়।

রেঞ্জ f={y:y=f(x)যেখানেx element X}
```
       ={f(x):x element X}
```
এখানে রেঞ্জ f কোডোমেন Y এর উপসেট।

আংশিক ফাংশনের ডোমেইন

বিশেষায়িত সংজ্ঞা

গণিতের ভাষায়, ডোমেইন হলো একটি ফাংশানকে সংজ্ঞায়িত করতে পারে এমন সদস্যের সেট। অন্যভাবে বলা যায়, কোন একটি নির্দিষ্ট শর্তকে পূরণ করতে পারে এমন উপাদানের সম্মিলিত সংগ্রহই একটি ফাংশন এর ডোমেইন।

বাস্তব এবং কাল্পনিক আক্ষিক বিশ্লেষণ
January 8, 2023

চলক (গণিত)

ণিতে চলক বা চলরাশি বলতে এমন একটি রাশিকে বোঝায়, যার মান কোনো গাণিতিক সমস্যা বা পরীক্ষণের প্রেক্ষাপটে অজ্ঞাত ও পরিবর্তনশীল এবং এটি কোনো প্রদত্ত সেটের বিভিন্ন মান গ্রহণ করতে পারে। সাধারণত একটিমাত্র বর্ণ দিয়ে একটি চলককে নির্দেশ করা হয়। এর বিপরীতে জ্ঞাত, অপরিবর্তনশীল রাশিকে ধ্রুবক বলা হয়। বীজগাণিতিক গণন প্রক্রিয়াতে সংখ্যার পরিবর্তে চলক ব্যবহার করে একটিমাত্র গণনার মাধ্যমে অনেকগুলি সদৃশ গাণিতিক সমস্যার সমাধান করা হয়।

সাধারণত যে পরিমাপযোগ্য রাশিটির মান অজানা ও পরিবর্তনশীল, সেটির নামের আদ্যবর্ণটি দিয়ে এর চলরাশিটিকে নির্দেশ করা হয়। যেমন– E দিয়ে energy (শক্তি), V দিয়ে volt (বিভব), ইত্যাদি। তবে সাধারণভাবে x $x$ , y $y$ , z $z$ , a $a$ , b $b$ , c $c$ প্রভৃতি বর্ণগুলি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

নির্দিষ্ট ধরণের চলকসমূহ

চলকের জন্য একই গাণিতিক সূত্রে বিভিন্ন ভূমিকা পালন করা সাধারণ এবং তাদের পার্থক্য করার জন্য বিভিন্ন নাম দেওয়া হয়ে থাকে; যা বিভিন্ন অজ্ঞাত রাশির মানকে নির্দেশ করে। উদাহরণস্বরূপ, সাধারণ ঘন সমীকরণ (general cubic equation) a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ ^[১]

ঘাতের ভিত্তিতে চলক নিম্নরুপ-

১/এক ঘাত বিশিষ্ট চলক

২/দ্বিঘাত বিশিষ্ট চলক

৩/বহুঘাত বিশিষ্ট চলক

এক চলক সংবলিত দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ a x 2 + b x + c = 0 $ax^2+bx+c=0$ । এখানে a $a$ , b $b$ , c $c$ বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0 ${\displaystyle a\neq 0}$ ।^[২]

প্রমাণ

{\displaystyle (ax^{2}+bx+c)\times a=0\times a}

	যথার্থতা
a x 2 + b x + c = 0
⇒ ( a x 2 + b x + c ) × a = 0 × a $(ax^{2}+bx+c)\times a=0\times a$	উভয় পক্ষকে a দ্বারা গুণ করে
⇒ a 2 x 2 + a b x + a c = 0 $a^{2}x^{2}+abx+ac=0$
⇒ ( a x ) 2 + 2 $(ax)^{2}+2$ • ( a x ) $(ax)$ • b 2 + ( b 2 ) 2 − ( b 2 ) 2 + a c = 0 ${\frac {b}{2}}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+ac=0$
⇒ ( a x ) 2 + 2 $(ax)^{2}+2$ • ( a x ) $(ax)$ • b 2 + ( b 2 ) 2 = ( b 2 ) 2 − a c ${\frac {b}{2}}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-ac$
⇒ ( a x ) 2 + 2 $(ax)^{2}+2$ • ( a x ) $(ax)$ • b 2 + ( b 2 ) 2 = ( b 2 2 2 ) − a c ${\frac {b}{2}}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {b^{2}}{2^{2}}}\right)-ac$
⇒ ( a x ) 2 + 2 $(ax)^{2}+2$ • ( a x ) $(ax)$ • b 2 + ( b 2 ) 2 = b 2 4 − a c ${\frac {b}{2}}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4}}-ac$
⇒ ( a x + b 2 ) 2 = b 2 4 − a c $\left(ax+{\frac {b}{2}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4}}-ac$	∵ a 2 + 2 a b + b 2 = ( a + b ) 2
⇒ ( a x + b 2 ) 2 = b 2 − 4 a c 4 $\left(ax+{\frac {b}{2}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4}}$
⇒ ( a x + b 2 ) 2 = b 2 − 4 a c 4 ${\sqrt {\left(ax+{\frac {b}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4}}}$	উভয় পক্ষের বর্গমূল করে
⇒ a x + b 2 = b 2 − 4 a c 4 $ax+{\frac {b}{2}}={\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4}}}$
⇒ a x + b 2 = ± b 2 − 4 a c 2 $ax+{\frac {b}{2}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2}}$	∵ a x + b 2 = b 2 − 4 a c 4 $\because ax+{\frac {b}{2}}={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{\sqrt {4}}}$
⇒ a x = − b 2 ± b 2 − 4 a c 2 $ax=-{\frac {b}{2}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2}}$	উভয়পক্ষে − b 2 যোগ করে
⇒ a x = − b ± b 2 − 4 a c 2 $ax={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2}}$
∴ x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a $\therefore x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$	উভয় পক্ষকে a দ্বারা ভাগ করে

January 8, 2023

গাণিতিক আরোহ বিধি
গাণিতিক আরোহ বিধি হলো স্বাভাবিক সংখ্যা সম্পর্কে কোন উপপাদ্য প্রমাণ করার একটি পদ্ধতি। যদি দেখানো যায় যে কোন উপপাদ্য P ( n ) $P(n)$ এর জন্য (যেখানে n $n$ কোন স্বাভাবিক সংখ্যা এবং P $P$ কোন ফাংশন ( n $n$ সম্পর্কে))

গাণিতিক আরোহ বিধি হলো স্বাভাবিক সংখ্যা সম্পর্কে কোন উপপাদ্য প্রমাণ করার একটি পদ্ধতি। যদি দেখানো যায় যে কোন উপপাদ্য P ( n ) $P(n)$ এর জন্য (যেখানে n $n$ কোন স্বাভাবিক সংখ্যা এবং P $P$ কোন ফাংশন ( n $n$ সম্পর্কে))
- P ( 0 ) $P(0)$ সত্য
এবং
- যদি P ( m ) $P(m)$ সত্য হয় তবে P ( m + 1 ) $P(m+1)$ সত্য (যেখানে m $m$ কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা)
তবে P ( n ) $P(n)$ সব স্বাভাবিক সংখ্যার জন্যই সত্য (যেহেতু স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো কেবলমাত্র এইভাবে গঠন করা যায়)।

প্রমাণ এবং উদাহরণ

এখানে আমরা একটি সংক্ষিপ্ত সংস্করণ প্রমাণ করব। প্রামাণ্য রূপ:-

ধরি S ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট, যার নিম্নোক্ত বৈশিষ্ট্য গুলি আছে:-

(a). 1∈ S

(b). যখন k∈ S, তখন (k+1)∈ S

তাহলে S সব পূর্ণসংখ্যার সেট।

প্রমাণ:-

ধরি T এমন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট যারা S এ নেই। ধরি T অশূন্য সেট। সুসামঞ্জস্য নীতি অনুযায়ী T এর তাহলে একটি ন্যূনতম পদ থাকবে। ধরি পদটি a। যেহেতু 1∈S, a>1 আর তাই 0<a-1<a। a,T এর ন্যূনতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই (a-1), Tতে নেই, আর সেইকারণেই Sএ আছে।প্রশ্নমতে, Sএ (a-1)+1 ও আছে, যা Tতে aএর উপস্থিতির বিরোধী। তাই আমরা সিদ্ধান্তে আসতে পারি T সেটটি শূন্য সেট এবং S সমস্ত পূর্ণসংখ্যার সেট।

উদাহরণ:-

আমরা দেখাতে চাই যে যে কোন স্বাভাবিক সংখ্যা n $n$ এর জন্য 1 + 3 + . . . + ( 2 n + 1 ) = ( n + 1 ) 2 $1+3+...+(2n+1)=(n+1)^{2}$
- P ( 0 ) $P(0)$ হলে, 1 = ( 0 + 1 ) 2 = 1 2 = 1 $1=(0+1)^{2}=1^{2}=1$ , যা অবশ্যই সত্য
- ধরা যাক P ( n ) $P(n)$ সত্য, অর্থাৎ 1 + 3 + . . . + ( 2 n + 1 ) = ( n + 1 ) 2 $1+3+...+(2n+1)=(n+1)^{2}$ , তাহলে দুই পক্ষে ( 2 n + 3 ) $(2n+3)$ যোগ করে পাই
বাম পক্ষে: 1 + 3 + . . . + ( 2 n + 1 ) + ( 2 n + 3 ) = 1 + 3 + . . + ( 2 ( n + 1 ) + 1 ) $1+3+...+(2n+1)+(2n+3)=1+3+..+(2(n+1)+1)$

ডান পক্ষে: ( n + 1 ) 2 + ( 2 n + 3 ) = ( n + 1 ) 2 + 2 ( n + 1 ) + 1 2 = ( ( n + 1 ) + 1 ) 2 $(n+1)^{2}+(2n+3)=(n+1)^{2}+2(n+1)+1^{2}=((n+1)+1)^{2}$

তার মানে P ( n + 1 ) $P(n+1)$ সত্য P ( n ) $P(n)$ এ n $n$ এর জায়গায় n + 1 $n+1$ বসিয়ে দেখুন)। সুতরাং গাণিতিক আরওহ বিধি বলে P ( n ) $P(n)$ সব স্বাভাবিক সংখ্যার জন্যই সত্য।

বিষয়শ্রেণী:
- বীজগণিত
- এ পৃষ্ঠায় শেষ পরিবর্তন হয়েছিল ১১:৫০টার সময়, ১৬ আগস্ট ২০২২ তারিখে।
- লেখাগুলো ক্রিয়েটিভ কমন্স অ্যাট্রিবিউশন/শেয়ার-আলাইক লাইসেন্সের আওতাভুক্ত; এর সাথে বাড়তি শর্ত প্রযোজ্য হতে পারে। এই সাইট ব্যবহার করার মাধ্যমে, আপনি এটি ব্যবহারের শর্তাবলী ও এর গোপনীয়তা নীতির সাথে সম্মত হচ্ছেন। উইকিপিডিয়া®, অলাভজনক সংস্থা উইকিমিডিয়া ফাউন্ডেশনের একটি নিবন্ধিত ট্রেডমার্ক।
January 8, 2023

ক্ষেত্র (গণিত)

ফিল্ড একটি বীজগাণিতিক গঠন যাতে যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ (শুণ্য দিয়ে ভাগ করা ছাড়া) করা যায়। পাটিগণিতের প্রায় সব গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য ফিল্ডের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

গণিতের যে শাখায় ফিল্ড নিয়ে গবেষণা করা হয় তাকে স্বাভাবিক কারণে ফিল্ড তত্ত্ব বলা হয়।

সংজ্ঞা

একটি ফীল্ড F ${\mathcal {F}}$ একটি সেট, যাতে + $+$ এবং ∗ $*$ নামের দুইটি বাইনারি ফাংশন ( F × F → F ${\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}$ ) সংজ্ঞায়িত, যেন:

+ $+$ এবং ∗ $*$ উভয়েই সংযোজনযোগ্য:

( a + b ) + c = a + ( b + c ) , ( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) $(a+b)+c=a+(b+c),\,(a*b)*c=a*(b*c)$ , যেখানে a , b , c ∈ F $a,b,c\in {\mathcal {F}}$

+ $+$ এবং ∗ $*$ উভয়েই বিনিময়যোগ্য

a + b = b + a , a ∗ b = b ∗ a $a+b=b+a,a*b=b*a$ , যেখানে a , b ∈ F $a,b\in {\mathcal {F}}$

∗ $*$ ফাংশনটি + $+$ এর উপর বিতরণযোগ্য

a ∗ ( b + c ) = a ∗ b + a ∗ c $a*(b+c)=a*b+a*c$ , যেখানে a , b , c ∈ F $a,b,c\in {\mathcal {F}}$

+ $+$ এর জন্য অভেদকের অস্তিত্ব:

F ${\mathcal {F}}$ -এ একটি সদস্য 0 $0$ আছে যেন যে কোন a ∈ F $a\in {\mathcal {F}}$ এর জন্য a + 0 = 0 + a = a $a+0=0+a=a$ হয়

∗ $*$ এর জন্য অভেদকের অস্তিত্ব:

F ${\mathcal {F}}$ -এ একটি সদস্য 1 $1$ আছে ( 0 $0$ থেকে ভিন্ন) যেন যে কোন a ∈ F $a\in {\mathcal {F}}$ এর জন্য a ∗ 1 = 1 ∗ a = a $a*1=1*a=a$ হয়

+ $+$ এর জন্য বিপরীতকের অস্তিত্ব:

যে কোন a ∈ F $a\in {\mathcal {F}}$ এর জন্য একটি − a ∈ F $-a\in {\mathcal {F}}$ আছে যেন a + ( − a ) = 0 $a+(-a)=0$ হয়

∗ $*$ এর জন্য বিপরীতকের অস্তিত্ব:

যে কোন a ∈ F $a\in {\mathcal {F}}$ , যেখানে a ≠ 0 $a\neq 0$ , এর জন্য একটি a − 1 ∈ F $a^{-1}\in {\mathcal {F}}$ আছে যেন a ∗ a − 1 = 1 $a*a^{-1}=1$ হয়

উদাহরণ

বাস্তব সংখ্যাগুলি একটি ফীল্ড।
জটিল সংখ্যাগুলিও একটি ফীল্ড।
পূর্ণ সংখ্যাগুলি ফীল্ড নয়। কারণ এমন অনেক পূর্ণ সংখ্যা আছে যাদের ∗ $*$ এর জন্য বিপরীতক পূর্ণ সংখ্যা নয়। যেমন ৫ এর বিপরীতক হল ১/৫, যা পূর্ণ সংখ্যা নয়। অর্থাৎ পূর্ণ সংখ্যার সেটে ৫ এর কোন বিপরীতক নেই।
মূলদ এবং বীজগাণিতিক সংখ্যাগুলি ফীল্ড।

বীজগণিতবীজগণিত • মেট্রিক্স • নির্ণায়ক • বহুপদী • বীজগাণিতিক সমীকরণ • ফিল্ড • গ্যালোয়ার তত্ত্ব • যোগাশ্রয়ী জগৎ • রিং • সহযোগী বীজগণিত • বিনিমেয় রিং • ন্যোথারীয় রিং • বহুপদীর রিং • ঘাত ধারার রিং • দ্বিঘাত বহুপদী • ক্লিফোর্ড বীজগণিত • অন্তরক রিং • ভিট ভেক্টর • মান আরোপন • আদেলীয় গ্রুপ • কেলি বীজগণিত • জর্ডান বীজগণিত • মডিউল • হোমোলজীয় বীজগণিত • হপ্‌ফ্‌ বীজগণিত

গণিত বিষয়ক এই নিবন্ধটি অসম্পূর্ণ। আপনি চাইলে এটিকে সম্প্রসারিত করে উইকিপিডিয়াকে সাহায্য করতে পারেন।

বিষয়শ্রেণীসমূহ:

এ পৃষ্ঠায় শেষ পরিবর্তন হয়েছিল ১১:৪০টার সময়, ১৮ জুলাই ২০২১ তারিখে।
লেখাগুলো ক্রিয়েটিভ কমন্স অ্যাট্রিবিউশন/শেয়ার-আলাইক লাইসেন্সের আওতাভুক্ত; এর সাথে বাড়তি শর্ত প্রযোজ্য হতে পারে। এই সাইট ব্যবহার করার মাধ্যমে, আপনি এটি ব্যবহারের শর্তাবলী ও এর গোপনীয়তা নীতির সাথে সম্মত হচ্ছেন। উইকিপিডিয়া®, অলাভজনক সংস্থা উইকিমিডিয়া ফাউন্ডেশনের একটি নিবন্ধিত ট্রেডমার্ক।

January 8, 2023

কেন্দ্র (বলয় তত্ত্ব)
কোন রিং বা বলয়ের কেন্দ্র R হল এমন একটি উপবলয় যেখানে উপবলয়টি x উপাদান নিয়ে গঠিত যেন R এর সকল উপাদান y এর জন্য xy = yxহয়। কোন বলয়ের কেন্দ্র হল একটি বিনিময় ধর্মী বলয় যা Z ( R ) $Z(R)$ দ্বারা নির্দেশ করা হয়; Z $Z$ হল জার্মান শব্দ Zentrum এর সংক্ষিপ্ত রূপ যার অর্থ “কেন্দ্র”

যদি R একটি বলয় হয় তবে R তার কেন্দ্রের উপর একটি সংযোজক বীজগণিত (associative algebra)। বিপরীতক্রমে R যদি বিনিময়ধর্মী উপবলয় S এর উপর একটি সংযোজক বীজগণিত হয় তবে S হবে R এর কেন্দ্রের একটি উপবলয় এবং S যদি R এর কেন্দ্রে ঘটে থাকে তবে R বীজগণিতকে কেন্দ্রীয় বীজগণিত বলা হয়।

উদাহরণ
- কোন বিনিময়ধর্মী বলয় R নিজেই R
- কোন তীর্যক ক্ষেত্রের কেন্দ্র একটি ক্ষেত্র
- কোন বিনিময়ধর্মী বলয় R এ অন্তর্ভুক্ত বা প্রবেশযোগ্য (পূর্ণাঙ্গ) ম্যাট্রিক্স বলয়ের কেন্দ্র একক ভেক্টরের R-স্কেলার গুণিতক নিয়ে গঠিত।^[১]
- যদি k ক্ষেত্রের ক্ষেত্র প্রসারণ F হয় এবং k এর উপরে R একটি বীজগণিত হয় তবে Z ( R ⊗ k F ) = Z ( R ) ⊗ k F $Z(R\otimes _{k}F)=Z(R)\otimes _{k}F$
- একটি লী বীজগণিতের সার্বজনীন আচ্ছাদি বীজগণিতের কেন্দ্র লী বীজগণিত উপস্থাপনা তত্ত্বের ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। যেমন— কোন ক্যাসিমির উপাদান এমনই একটি কেন্দ্র যা লী বীজগণিত উপস্থাপনার বিশ্লেষণের জন্য ব্যবহার করা হয়। হরিশ চন্দ্র আইসোমর্ফিজম দেখুন।
- কোন সরল বীজগণিতের কেন্দ্র হল একটি ক্ষেত্র।
January 8, 2023
অপেক্ষক (গণিত)

অপেক্ষক বা ফাংশন(ইংরেজি: Function) একটি গাণিতিক ধারণা যা দুইটি রাশির মধ্যে পারস্পরিক নির্ভরশীলতা প্রকাশ করে। একটি রাশিকে বলা হয় প্রদত্ত রাশি, বা স্বাধীন চলক বা অপেক্ষকটির আর্গুমেন্ট বা ইনপুট। অপরটিকে উৎপাদিত রাশি বা অপেক্ষকের মান বা আউটপুট বলা হয়। অপেক্ষক কোন একটি নির্দিষ্ট সেট থেকে (যেমন-বাস্তব সংখ্যার সেট থেকে) নেয়া প্রতিটি ইনপুট উপাদানের জন্য একটি অনন্য আউটপুটকে সম্পর্কিত করে।

কোনো অপেক্ষককে বিভিন্ন উপায়ে প্রকাশ করা যায়: সূত্রের সাহায্যে, লেখচিত্রের সাহায্যে, অপেক্ষকটি গণনাকারী অ্যালগোরিদমের সাহায্যে, কিংবা অপেক্ষকটির বৈশিষ্ট্য বর্ণনা করে। কখনও কখনো একটি অপেক্ষককে অন্য এক বা একাধিক অপেক্ষকের সাথে এর সম্পর্কের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় (যেমন- বিপরীত ফাংশন)। বিভিন্ন ব্যবহারিক শাস্ত্রে অপেক্ষকগুলিকে প্রায়শই তাদের মানের সারণি কিংবা সূত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। তবে সব অপেক্ষককে উপরের সব রকমভাবে প্রকাশ করা যায় না। আসল অপেক্ষক ও একে কীভাবে উপস্থাপন করা হয়েছে বা কল্পনা করা হয়েছে, এ দুইয়ের মধ্যে যথেষ্ট পার্থক্য আছে।^{[তথ্যসূত্র প্রয়োজন]}

অপেক্ষকের সংযোজন

অপেক্ষকের সংযোজন (composition) সমগ্র গণিতশাস্ত্রের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ একটি ধারণা: যদি z, y এর একটি অপেক্ষক হয়, যেখানে y, x এর একটি অপেক্ষক, তবে z, x এরও একটি অপেক্ষক হবে। সাধারণভাবে বলা যায় যে, যে সংযুক্ত অপেক্ষকটি প্রথম অপেক্ষকের আউটপুটকে দ্বিতীয় অপেক্ষকের ইনপুট হিসেবে ব্যবহার করে পাওয়া যায়। অপেক্ষকের এই বৈশিষ্ট্যটি অন্যান্য গাণিতিক সংগঠন (যেমন-সংখ্যা বা আকৃতি) থেকে অপেক্ষককে স্বতন্ত্র করেছে এবং অপেক্ষকসমূহের তত্ত্বকে একটি শক্তিশালী কাঠামো প্রদান করেছে।

পরিভাষা ও উদাহরণ

গণিতে ফাংশন একটি মৌলিক ভূমিকা পালন করে। গণিতের বিমূর্ত শাখা যেমন সেট তত্ত্বে সাধারণ প্রকৃতির ফাংশন নিয়ে আলোচনা করা হয়। এই পদ্ধতিগুলো দৃঢ় নিয়মের উপর প্রতিষ্ঠিত নয় এবং পরিচিত নীতি দ্বারা পরিচালিত নয়। সর্বাধিক বিমূর্ত ক্ষেত্রে ফাংশনের পরিচিত বৈশিষ্ট্য হল এটি একটি ইনপুটের জন্য কেবল একটি আউটপুট দেয়। এমন ফাংশনের জন্য সংখ্যার প্রয়োজন হয় না এবং কোন শব্দের প্রথম অক্ষরও এক্ষেত্রে গ্রহণীয় হতে পারে। বীজগাণিতিক অপারেশনের পরিভাষার মাধ্যমে বীজগণিতে ব্যবহৃত ফাংশনের ব্যাখ্যা দেয়া সম্ভব।

বিভিন্ন প্রকার অপেক্ষকের নাম:

১. সার্বিক ফাংশন ২. এক-এক ফাংশন ৩. সার্বিক ও এক-এক ফাংশন ৪. বিপরীত ফাংশন ৫. অভেদ ফাংশন ৬. ধ্রুবক ফাংশন ৭. সংযোজিত ফাংশন ৮. বহুপদী ফাংশন ৯. মূলদীয় ফাংশন ১০. যোগাশ্রয়ী ফাংশন ১১. দ্বিঘাত ফাংশন ১২. ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ১৩. পর্যাবৃত্ত ফাংশন ১৪. বৃত্তীয় ফাংশন ১৫. বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশন ১৬. যুগ্ম ফাংশন ১৭. অযুগ্ম ফাংশন ১৮. সূচকীয় ফাংশন ১৯. লগারিদমিক ফাংশন

January 8, 2023
অপারেন্ড
অপারেন্ড (operand) হলো কোনো গাণিতিক প্রক্রিয়ার (operation) উপাদান। অপারেন্ডকে বলা যায়, এটা হচ্ছে সেই বস্তু বা উপাদান কিংবা রাশি যার ওপর গাণিতিক প্রক্রিয়া চালানো হয়।^[১]

উদাহরণ

নিচের পাটিগণিতীয় রাশিটিতে অপারেটর ও অপারেন্ড-এর একটি উদাহরণ দেখানো হয়েছে: 3 + 6 = 9 $3+6=9$

উপরের এই উদাহরণটিতে ‘+’ চিহ্নটি যোগ নামক গাণিতিক প্রক্রিয়ার জন্য ব্যবহৃত করা হয়েছে।

এখানে অপারেন্ড 3 হচ্ছে যোগ অপারেটরের অনুসরণকারী একটি ইনপুট এবং অপারেন্ড 6 হচ্ছে অপর আরেকটি ইনপুট যা গাণিতিক প্রক্রিয়াটির জন্য আবশ্যক।

এই গাণিতিক প্রক্রিয়াটির ফলাফল হলো 9, যাকে যোজ্য 3 ও যোজক 6-এর যোগফল বা সমষ্টিও বলা হয়।

একইভাবে নিচের উদাহরণটি দেখা যাক: 25 = 5 ${\sqrt {25}}=5$

বর্গমূল নামক এই গাণিতিক প্রক্রিয়ায় অপারেন্ড হলো 25, যা এই গাণিতিক প্রক্রিয়াটির ইনপুট।

সুতরাং, অপারেন্ডকে “কোনো অপারেশন বা গাণিতিক প্রক্রিয়ার ইনপুট” হিসেবেও উল্লেখ করা যায়।

অপারেন্ড লেখার নিয়ম

রাশিমালার আকারে অপারেন্ড

অপারেন্ড জটিল আকারেরও হতে পারে। এমনকি অপারেন্ড ও অপারেটরের সমন্বয়ে গঠিত একটি রাশিমালাও অন্য আরেকটি গাণিতিক প্রক্রিয়ার অপারেন্ড হতে পারে। ( 3 + 5 ) × 2 $(3+5)\times 2$

উপরের রাশিমালায় গুণ নামক গাণিতিক প্রক্রিয়াটির প্রথম অপারেন্ড হলো ‘(3 + 5)’ এবং ‘2’ হলো এর দ্বিতীয় অপারেন্ড। এখানে, ‘(3 + 5)’ অপারেন্ডটি নিজেই একটি রাশিমালা, যা ‘3’ এবং ‘5’ অপারেন্ডসহ একটি যোগ অপারেটরের সমন্বয়ে গঠিত হয়েছে।

গাণিতিক প্রক্রিয়ার ক্রম

আরও দেখুন: গাণিতিক প্রক্রিয়ার ক্রম

কোন অপারেন্ডের জন্য কোন অপারেটর কিংবা কোন অপারেটরের জন্য কোন অপারেন্ড তার মূল্যায়ন নির্ভর করে গাণিতিক প্রক্রিয়ার ধারাবাহিকতার বা ক্রমের নিয়মাবলির ওপর।^[২] 3 + 5 × 2 $3+5\times 2$

উপরের রাশিমালায়, যোগ অপাটেরটি অপেক্ষা গুণ অপারেটরটির অগ্রাধিকার রয়েছে। তাই, এখানে গুণ অপারেটরটির অপারেন্ড হলো ‘5’ এবং ‘2’। পক্ষান্তরে, যোগ অপারেটরটির অপারেন্ড হলো ‘3’ এবং ‘5 × 2’

রাশিমালায় অপারেন্ডের অবস্থান

কোনো অপারেটরের অপারেন্ডের (অথবা অপারেন্ডগুলোর) সাপেক্ষে অপারেটরটির অবস্থানের পরিবর্তন ঘটতে পারে, যে পরিবর্তন নির্ভর করে কোন কোন গাণিতিক প্রতীক-চিহ্নাদি ব্যবহার করা হচ্ছে তার ওপর। দৈনন্দিন ব্যবহারের ক্ষেত্রে ইনফিক্স নোটেশন সর্বাধিক চোখে পড়ে এবং আমরা মূলত এই নোটেশনের মাধ্যমে লেখা রাশিমালাতেই অভ্যস্ত।^[৩]। তথাপি, প্রিফিক্স নোটেশন ও পোস্টফিক্স নোটেশনের মতো আরও কয়েকটি নোটেশনের অস্তিত্ব রয়েছে। এই বিকল্প নোটেশনগুলো কম্পিউটার বিজ্ঞানে বহুল ব্যবহৃত।

নিচে তিনটি ভিন্ন ভিন্ন নোটেশনের তুলনা দেখানো হলো, যেখানে সকল ক্ষেত্রেই ‘1’ এবং ‘2’ এর যোগকে উপস্থাপন করা হয়েছে: 1 + 2 $1+2$ (ইনফিক্স নোটেশন) + 1 2 $+\;1\;2$ (প্রিফিক্স নোটেশন) 1 2 + $1\;2\;+$ (পোস্টফিক্স নোটেশন)

ইনফিক্স নোটেশন এবং গাণিতিক প্রক্রিয়ার ক্রম

মূল নিবন্ধ: গাণিতিক প্রক্রিয়ার ক্রম

গাণিতিক রাশিমালার ক্ষেত্রে গাণিতিক প্রক্রিয়ার ক্রমকে বাম দিক থেকে ডান দিকে নির্বাহ করা হয়। রাশিমালার সর্ববাম থেকে শুরু করতে হয় এবং গাণিতিক প্রক্রিয়া ক্রম (যা বন্ধনী দিয়ে শুরু হয়ে যোগ/বিয়োগ দিয়ে শেষ হয়) অনুসারে রাশিমালার প্রথম গাণিতিক প্রক্রিয়াটি (অপারেশন) বের করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, এই রাশিমালাটি দেখা যাক, 4 × 2 2 − ( 2 + 2 2 ) $4\times 2^{2}-(2+2^{2})$

এখানে, প্রথম গাণিতিক প্রক্রিয়াটি নির্বাহ করতে হবে বন্ধনীর মধ্যে এবং এটি করতে হবে বন্ধনীর মধ্যে এক বা একাধিক যে রাশিমালাই পাওয়া যাক না কেন সেগুলোর প্রতিটির ওপর। সুতরাং, বাম থেকে শুরু করে ক্রমশ ডান দিকে অগ্রসর হয়ে প্রথম বন্ধনীটি (এই রাশিমালায় কেবল একটি বন্ধনীই ব্যবহার করা হয়েছে) বের করতে হবে। আর তা হলো: (2 + 2²)। বন্ধনীর মধ্যে থাকা 2² নিজেই একটি রাশিমালা। পরবর্তী ধাপে যাওয়ার পূর্বেই 2²-এর মান বের করতে হবে। 2²-এর মান হলো 4। এই মানটি বের করার পর আমরা যে রাশিমালাটি পাব, তা দেখতে নিম্নরূপ হবে: 4 × 2 2 − ( 2 + 4 ) $4\times 2^{2}-(2+4)$

পরবর্তী ধাপে, স্বয়ং বন্ধনীর ভেতর থাকা রাশিমালাটির মান বের করতে হবে। তা হলো (2 + 4) = 6। এবার যে রাশিমালাটি পাব তা হবে: 4 × 2 2 − 6 $4\times 2^{2}-6$

রাশিমালার বন্ধনী অংশের হিসাব করার পর পুনরায় সর্ববাম থেকে শুরু করে ক্রমান্বয়ে ডানে যেতে হবে। নিয়ম মোতাবেক পরবর্তী গাণিতিক প্রক্রিয়াটি হচ্ছে সূচক। এই রাশিমালাটির (এই অনুচ্ছেদের উপরের) সর্ববামে যে সংখ্যাটি পাওয়া যায় তা হলো 4, এরপর সূচকের সন্ধানে ডানে গেলে রাশিমালাটির অন্তর্গত আরেকটি (এক্ষেত্রে কেবল একটিই) রাশিমালার দেখা পাওয়া যায়, যাকে আবার একটি সূচক সহকারে প্রকাশ করা হয়েছে। আর সূচকযুক্ত এই রাশিমালাটি হলো 2²। এখন, 2²-এর যে মান আমরা পাব তা হলো 4। তাহলে পরবর্তীতে আমরা যে রাশিমালাটি পাচ্ছি তা হবে: 4 × 4 − 6 $4\times 4-6$ .

গাণিতিক প্রক্রিয়ার পরবর্তী ধাপটি হলো গুণ। এখানে 4 × 4 হবো 16। তাহলে রাশিমালাটি এবার দেখতে নিম্নরূপ হবে: 16 − 6 $16-6$

গাণিতিক প্রক্রিয়ার ক্রমানুসারে পরবর্তী ধাপটি হলো ভাগ। কিন্তু, 16 − 6 রাশিমালায় ভাগ অপারেটরের কোনো চিহ্ন (÷) না থাকায় পরবর্তী ধাপগুলোতে অগ্রসর হতে হবে; পরবর্তী ধাপগুলো হচ্ছে যোগ ও বিয়োগ এবং এদের ক্ষেত্রেও বাম থেকে ডানে ধারাবাহিকতা মেনে চলতে হবে। 16 − 6 = 10 $16-6=10$ .

সুতরাং, মূল রাশিমালাটির অর্থাৎ (4 × 2² − (2 + 2²) এর মান হচ্ছে 10।

প্রতিষ্ঠিত রীতির মাধ্যমে নির্ধারণকৃত নিয়মাবলি অনুসারে গাণিতিক প্রক্রিয়ার ধারাবাহিকতা মেনে চলা এবং তদনুসারে তা নির্বাহ করা অত্যাবশ্যক ও গুরুত্বপূর্ণ। কোনো রাশিমালার মান নির্ণয় করতে গিয়ে যদি গাণিতিক প্রক্রিয়ার সঠিক ধারাবাহিকতা মেনে চলা না হয়, তাহলে ভিন্ন একটি মানের সম্মুখীন হতে হবে। পৃথক ঐ মানটি হবে ভুল মান বা ভুল উত্তর, কারণ এতে গাণিতিক প্রক্রিয়ার সঠিক ক্রম বা ধারাবাহিকতা মেনে চলা হয়নি। কোনো রাশিমালার প্রকৃত বা নির্ভুল মান তখনই পাওয়া যাবে, যদি এবং কেবল যদি রাশিমালাটির অন্তর্গত প্রতিটি গাণিতিক প্রক্রিয়া সঠিক ক্রমানুসারে সম্পন্ন করা হয়।

অ্যারিটি

আরও দেখুন: অ্যারিটি

একটি অপারেটর যতসংখ্যক অপারেন্ড ধারণ করে সেই সংখ্যাই ঐ অপারেটরের অ্যারিটি। অ্যারিটি হলো একটি গাণিতিক প্রক্রিয়ার জন্য অত্যাবশ্যকীয় ন্যূনতম আর্গুমেন্ট বা অপারেন্ডের সংখ্যা।^[৪] অ্যারিটির ভিত্তিতে অপারেটরগুলোকে মূলত nullary (অপারেন্ড অনুপস্থিত), unary (১টি অপারেন্ড), binary (২টি অপারেন্ড), ternary (৩টি অপারেন্ড)-এ শ্রেণিবিন্যস্ত করা হয়। উচ্চতর অ্যারিটিগুলোকে নির্দিষ্ট পদের মাধ্যমে খুব কমই নামকরণ করা হয়। আর যেহেতু ফাংশন কম্পোজিশন বা কারিকরণের (Haskell Curry প্রবর্তিত কৌশলবিশেষ) মাধ্যমে উচ্চতর অ্যারিটিগুলোকে এড়ানো সম্ভব, সে কারণেও এদের নামকরণ খুব একটা করা হয় না। অ্যারিটির জন্য অন্যান্য যেসব পদ বা পরিভাষা ব্যবহার করা হয় সেগুলোর কয়েকটি নিম্নরূপ (বন্ধনীর মধ্যে আবদ্ধ সংখ্যা অপারেন্ডের সংখ্যা নির্দেশ করছে):
- quaternary, tetranary (৪)
- quinary, quintenary, quinquennary (৫)
- hexanary, senary, sexenary (৬)
- septenary (৭)
- octonary (৮)
- nonary, novenary (৯)
- denary (১০)
- undenary (১১)
- duodenary (১২)
- tridecennary (১৩)
- quindenary (১৫)
- vigenary (২০)
- quadringenary (৪০)
- quinquagenary (৫০)
- sexagenary (৬০)
- septuagenary (৭০)
- octogenary (৮০)
- nonagenary (৯০)
- centenary (১০০)
- sesquicentenary (১৫০)
- bicentenary (২০০)
- tercentenary, tricentenary (৩০০)
- quadringentenary, quatercentenary (৪০০)
- quincentenary (৫০০)
- sexcentenary (৬০০)
- septcentenary (৭০০)
- octocentenary (৮০০)
কম্পিউটার বিজ্ঞান

কম্পিউটারের প্রোগ্রামিং ভাষার অপারেটর এবং অপারেন্ড-এর সংজ্ঞা প্রায় গণিতের সংজ্ঞারই অনুরূপ।

কম্পিউটিংয়ের ক্ষেত্রে, অপারেন্ড হলো কম্পিউটারের নির্দেশমালার সেই অংশ, যা নির্ধারণ করে দেয় কোন উপাত্তটি ম্যানুপিউলেটেড বা অপারেটেড হবে, যেখানে একই সময়ে এটি (অপারেন্ডটি) স্বয়ং সেই উপাত্তের প্রতিনিধিত্ব করবে।^[৫] কম্পিউটারের একটি নির্দেশনায় যেখানে X-এর যোগের অথবা গুণের কথা বলা হয়, সেখানে অপারেন্ড (অথবা অপারেন্ডগুলো, যেহেতু একাধিক অপারেন্ডের উপস্থিতি সম্ভব) নির্ধারণ করে দেয় কোন X-টিকে এর (X-এর) মান দিয়ে অপারেট করা হবে।

উপরন্তু, কম্পিউটারের অ্যাসেম্বলি ভাষায় অপারেন্ড হলো একটি মান (আর্গুমেন্ট), যার ওপর কম্পিউটারের নির্দেশনা (instruction) পরিচালিত বা অপারেট হয়, যেখানে এই নির্দেশনা নেমনিকের মাধ্যমে নামাঙ্কিত। কম্পিউটারের ক্ষেত্রে অপারেন্ড হতে পারে একটি প্রসেসর রেজিস্টার, এটি হতে পারে একটি মেমোরি অ্যাড্রেস কিংবা এটি হতে পারে একটি লেবেল। x86 ইনস্ট্রাকশন সেট আর্কিটেকচারে অপারেন্ডের একটি সহজ উদাহরণ হচ্ছে:
```
MOV DS, AX
```
এখানে, রেজিস্টার অপারেন্ড AX এর মানকে (value) রেজিস্টার DS এর মধ্যে স্থানান্তর বা move (MOV) করতে হবে। ইনস্ট্রাকশন সেট আর্কিটেকচার অনুসারে শূন্য সংখ্যক, একটি, দুইটি অথবা ততোধিক অপারেন্ড থাকা সম্ভব।
January 8, 2023
ব্যবহারকারী:Nokib Sarkar/মূল (গণিত)
সমাধান (গণিত)” শিরোনামকে এখানে পুনর্নির্দেশ করা হয়েছে। কোনো সীমাবদ্ধতা সমাধানের জন্য সীমাবদ্ধতা অতিক্রম সমস্যা § সমাধান দেখুন। গাণিতিক অনুকূলীকরণ সমস্যার সমাধান জন্য অনূকূল সমাধান দেখুন।

f ( x ) = 0 $f(x)=0$ সমীকরণটি সমাধান কিংবা f ফাংশনের (যেখানে f হল অংকিত ফাংশন) মূল বের করার জন্য নিউটন-র‍্যাফসন পদ্ধতির উদাহরণ।

x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a ${\overset {}{\underset {}{x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}$

দ্বিঘাত সমাধান, দ্বিঘাত সমীকরণax²+bx+c=0 সমাধানের প্রতীকী সমাধান। a,b,c সহগসমূহের জানা মান বসিয়ে এবং মূল্যায়ন করে সমীকরণটির সাংখ্যিক মান পাওয়া যায়।

In mathematics, to solve an equation is to find its solutions, which are the values (numbers, functions, sets, etc.) that fulfill the condition stated by the equation, consisting generally of two expressions related by an equality sign. When seeking a solution, one or more free variables are designated as unknowns. A solution is an assignment of expressions to the unknown variables that makes the equality in the equation true. In other words, a solution is an expression or a collection of expressions (one for each unknown) such that, when substituted for the unknowns, the equation becomes an identity. A solution of an equation is often also called a root of the equation, particularly but not only for algebraic or numerical equations.

A problem of solving an equation may be numeric or symbolic. Solving an equation numerically means that only numbers represented explicitly as numerals (not as an expression involving variables), are admitted as solutions. Solving an equation symbolically means that expressions that may contain known variables or possibly also variables not in the original equation are admitted as solutions.

For example, the equation x + y = 2x – 1 is solved for the unknown x by the solution x = y + 1, because substituting y + 1 for x in the equation results in (y + 1) + y = 2(y + 1) – 1, a true statement. It is also possible to take the variable y to be the unknown, and then the equation is solved by y = x – 1. Or x and y can both be treated as unknowns, and then there are many solutions to the equation. (x, y) = (a + 1, a) is a symbolic solution. Instantiating a symbolic solution with specific numbers always gives a numerical solution; for example, a = 0 gives (x, y) = (1, 0) (that is, x = 1 and y = 0) and a = 1 gives (x, y) = (2, 1). Note that the distinction between known variables and unknown variables is made in the statement of the problem, rather than the equation. However, in some areas of mathematics the convention is to reserve some variables as known and others as unknown. When writing polynomials, the coefficients are usually taken to be known and the indeterminates to be unknown, but depending on the problem, all variables may assume either role.

Depending on the problem, the task may be to find any solution (finding a single solution is enough) or all solutions. The set of all solutions is called the solution set. In the example above, the solution (x, y) = (a + 1, a) is also a parametrization of the solution set with the parameter being a. It is also possible that the task is to find a solution, among possibly many, that is best in some respect; problems of that nature are called optimization problems; solving an optimization problem is generally not referred to as “equation solving”.

A wording such as “an equation in x and y“, or “solve for x and y“, implies that the unknowns are as indicated: in these cases x and y.

বিষয়শ্রেণীসমূহ:
January 8, 2023
মেয়ার-ভিয়েটারস ক্রম
বিশেষ করে বীজগাণিতিক টপোলজি এবং সমসংস্থ তত্ত্বে, মেয়ার-ভিটারস ক্রম বা ম্যায়ের-ভিয়েতরিস ধারা হল একটি বীজগাণিতিক সরঞ্জাম, যা টপোগাণিতিক ক্ষেত্রের সমসংস্থ এবং সহ-সমসংস্থ হিসেবে পরিচিত বীজগাণিতিক ইনভ্যারিয়েন্টসমূহ হিসাব করতে সাহায্য করে। অষ্ট্রিয়ার গণিতবিদ ওয়ালথার মেয়ার এবং লেপল্ড ভিয়েটরিস নামক বিজ্ঞানীদ্বয় এটি আবিষ্কার করেন। এই পদ্ধতিতে একটি ক্ষেত্রকে বিভিন্ন উপক্ষেত্রে বিভক্ত করা হয়, যাতে সমসংস্থ এবং সহসমসংস্থ গ্রুপগুলো পরিমাপ করা সহজ হয়। এই ধারাটি মূল ক্ষেত্রটির (সহ)সমসংস্থ গ্রুপগুলোর সঙ্গে উপক্ষেত্রগুলোর (সহি)সমসংস্থ গ্রুপের সম্পর্ক তৈরী করে। এটি এক ধরনের স্বাভাবিক দীর্ঘ শৃঙখলিত ধারা, যার পদগুলো সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের (সহ)সমসংস্থ গ্রুপ,উপক্ষেত্রের গ্রুপগুলোর প্রত্যক্ষ সমষ্টি এবং উপক্ষেত্রসমূহের ছেদসেটের (সহ)সমসংস্থ গ্রুপ।

মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারা সরল সমসংস্থ এবং অদ্বৈত সমসংস্থসহ সমসংস্থ তত্ত্ব এবং সহসমসংস্থ তত্ত্বের অনেক প্রকারভেদ কে ধারণ করে। সাধারণভাবে এই ধারাটি এলিয়েনবার্গ-স্টিনরোড স্বতঃসিদ্ধসমূহকে সিদ্ধকারী তত্ত্বসমূহকে ধারণ করে এবং এতে হ্রাসকৃত এবং আপেক্ষিক (সহ)সমসংস্থ সহ অনেক প্রকারভেদ রয়েছে। বেশিরভাগ ক্ষেত্রের (সহ)সমসংস্থ গ্রুপ গুলো সরাসরি তাদের সংজ্ঞায়ন থেকে পরিমাপ করা না যাওয়ার কারণে ম্যায়ের-ভিয়েটরিস ধারা ব্যবহারের মাধ্যমে তা সম্পর্কে আংশিক তথ্য পাওয়া যায়।

টপোগণিতের অনেক ক্ষেত্র খুবই সরল কিছু ক্ষেত্রের সমন্বয়ে গঠিত হয়েছে। দুটি আচ্ছাদিত উপক্ষেত্র এবং তাদের ছেদাংশ এমনভাবে নির্বাচন, যাতে সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের তুলনায় তাদের (সহ)সমসংস্থ গ্রুপগুলো সরল হয়, করার মাধ্যমে (সহ)সমসংস্থ হ্রাস করা যায়। সে ক্ষেত্রে এ ধারাটি মৌলিক গ্রুপের জন্য সাফাঁর ভ্যান ক্যাম্পেঁ তত্ত্ব এর সমার্থক এবং এক মাত্রার সম সংস্থের সঙ্গে স্পষ্ট সম্পর্ক বিদ্যমান।

পটভূমি , অগ্রগতি এবং ইতিহাস

১১০তম জন্মদিনে Leopold Vietoris

একটি স্থানের সমটপো গ্রুপ অথবা মৌলিক গ্রুপের মত সমসংস্থ গ্রুপ গুলো টপোগানিতিক স্থিরতায় গুরুত্বপূর্ণ। যদিও কিছু (সহ)সমসংস্থ তত্ত্ব রৈখিক বীজগণিতের সাহায্যে পরিমাপ যোগ্য, তবুও অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ (সহ)সমসংস্থ তত্ত্ব বিশেষ করে অদ্বৈত সমসংস্থ তত্ত্ব অশূন্য ক্ষেত্রের জন্য প্রদত্ত সংজ্ঞা হতে সরাসরি পরিমাপ যোগ্য নয়। অদ্বৈত (সহ)সমসংস্থ তত্ত্বের ক্ষেত্রে অদ্বৈত (সহ)শৃংখল এবং (সহ)চক্র গ্রুপগুলো সরাসরি ব্যবস্থাপনা প্রায়ই ব্যাপক কঠিন হয়ে পড়ে। তখন আরও দক্ষ এবং পরোক্ষ পদ্ধতির প্রয়োজন পড়ে। মেয়ার ভিয়েটারিস এমনই একটি ধারা যা কোনো ক্ষেত্রের (সহ)সমসংস্থ গ্রুপগুলোর উপক্ষেত্রের মধ্যকার সম্পর্ক এবং তাদের ছেদাংশ সম্পর্কে আংশিক তথ্য প্রদান করে।

এসব সম্পর্ককে উপস্থাপনের সবচেয়ে প্রাকৃতিক এবং চলমান পদ্ধতি হল শৃঙখলিত ধারার বীজগাণিতিক ধারণা: কিছু বস্তু (এক্ষেত্রে গ্রুপ) এবং তাদের মাঝে এমনভাবে রূপতাসমূহ (এক্ষেত্রে গ্রুপ সমরূপতা) বিদ্যমান থাকে যেন, একটির প্রতিবিম্ব পরবর্তীটির প্রাকপ্রতিবিম্ব হয়। সাধারণভাবে, এটি কোনও স্থানের (সহ)সমসংস্থ গ্রুপগুলোকে পুরোপুরি পরিমাপ করতে দেয় না। তবে টপোগণিতে ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র প্যাচ দ্বারা তৈরী বিভিন্ন ক্ষেত্র যেমন, টপোগাণিতিক বহুধা, সিমপ্লিসিয়াল কমপ্লেক্স, অথবা সিডব্লিউ কমপ্লেক্স ইত্যাদি থাকায়, মেয়ার-ভেয়েটরিসের তত্ত্বের মতো তত্ত্বগুলো অনেকটাই প্রশস্ত এবং গভীরভাবে প্রযোজ্য।

১৯২৬ ও ১৯২৭ সালে ভিয়েনার একটি স্থানীয় বিশ্ববিদ্যালয়ে বক্তৃতা দেওয়ার সময় তার সহকর্মী ভিয়েটরিস মেয়ারকে টপোগণিতের সঙ্গে পরিচয় করিয়ে দেন।^[১] তাকে বেটি সংখ্যা সম্পর্কে অনুমিত ফলাফল ও সমাধানের পথ সম্পর্কে জানানো হয়েছিলো এবং ১৯২৯ সালে তিনি তা সমাধান করেন। ^[২] তোরাসকে দুটি বেলনের সংযোগ বিবেচনা করে তিনি তার ফলাফলগুলো প্রয়োগ করেন। ^[৩]^[৪] ভিয়েটরিস পরবর্তীতে হাজার ১৯৩০ সালে ফলাফলগুলোকে সমসংস্থ গ্রুপের জন্য সম্পূর্ণ প্রমাণ করেন কিন্তু শৃঙ্খলিত ধারা হিসেবে তা প্রকাশ করেননি।^[৫] শৃঙ্খলিত ধারার ধারণাটি সর্বপ্রথমস্যামুয়েল এলিয়েনবার্গ এবং নর্মান স্টিনরোড এর লেখা ১৯৫২ সালের বই Foundations of Algebraic Topologyতে প্রথম পাওয়া যায়। ^[৬] যেখানে মেয়ার এবং ভিয়েটরিস এর ফলাফলগুলো আধুনিকভাবে প্রকাশিত হয়। ^[৭]

অদ্বৈত সমসংস্থের জন্য মৌলিক সংস্করণ

ধরি, X একটি টপোগাণিতিক জগত এবং A, B দুটো উপজগৎ যাদের অন্তর্ভাগসমূহ X কে আচ্ছাদিত করে। (A এবং B এর অন্তর্ভাগ নিশ্ছেদ হওয়া অনাবশ্যক)

(X, A, B) ত্রয়ীর জন্য অদ্বৈত সমসংস্থ গ্রুপের মেয়ার-ভিয়েতরিস ক্রমটি একটি দীর্ঘ শৃঙখলিত ধারা, যা X, A, B, এবং ছেদসেট A∩B এর অদ্বৈত সমসংস্থ গ্রুপসমূহের (পূর্ণসংখ্যার গ্রুপ Z কে সহগ গ্রুপ হিসেবে রেখে) মাঝে সম্পর্ক সৃষ্টি করে। ^[৮] এর একটি অহ্রাসকৃত সংস্করণ এবং একটি হ্রাসকৃত সংস্করণ রয়েছে।

অহ্রাসকৃত সংস্করণ

অহ্রাসকৃত সমসংস্থের ক্ষেত্রে, মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারা অনুযায়ী নিম্নলিখিত সম্পর্কটি শৃঙখলিত:^[৯] ⋯ → H n + 1 ( X ) → ∂ ∗ H n ( A ∩ B ) → ( i ∗ , j ∗ ) H n ( A ) ⊕ H n ( B ) → k ∗ − l ∗ H n ( X ) → ∂ ∗ H n − 1 ( A ∩ B ) → ⋯ → H 0 ( A ) ⊕ H 0 ( B ) → k ∗ − l ∗ H 0 ( X ) → 0. $\cdots \to H_{n+1}(X)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B)\to \cdots \to H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\to 0.$

এখানে i : A∩B ↪ A, j : A∩B ↪ B, k : A ↪ X, এবং l : B ↪ X হল অন্তর্ভুক্তি মানচিত্র এবং ⊕ $\oplus$ আবেলীয় গ্রুপসমূহের প্রত্যক্ষ সমষ্টি নির্দেশ করে।

সীমানা মানচিত্র

টোরাসের উপর ∂_∗ এর সীমানাচিত্র । ১-চক্র x = u + v হল A এবং B এর ছেদাংশে অবস্থিত দুটি ১-শৃঙখলের সমষ্টি

সীমানাচিত্র ∂_∗ এর মাত্রা হ্রাসকরণ নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়।^[১০] H_n(X) এর একটি উপাদান n-চক্রের সমসংস্থ শ্রেণী x, যা, উদাহরণস্বরূপ ভরকেন্দ্রিক উপবিভাজন দ্বারা, দুটি n-শৃঙখল u এবং v এর সমষ্টি আকারে লেখা যেতে পারে, যাদের প্রতিবিম্বগুলো যথাক্রমে A এবং B তে অবস্থিত। ফলে ∂x = ∂(u + v) = 0 যেন ∂u = −∂v। এ থেকে বুঝা যায় যে, ছেদাংশ A∩B কে এসব (n − 1)- শৃংখল সীমানার প্রতিবিম্বসমূহ অবস্থিত। অতঃপর ∂_∗([x]) কে H_n−1(A∩B) তে অবস্থিত ∂u এর শ্রেণী হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় অন্য আরেকটি decomposition x = u′ + v′ নির্বাচন [∂u] কে প্রভাবিত করে না, কারণ ∂u + ∂v = ∂x = ∂u′ + ∂v′, যা থেকে বোঝা যায় ∂u − ∂u′ = ∂(v′ − v), এবং তার ফলে ∂u এবং ∂u′ একই সমসংস্থ শ্রেণীতে অবস্থান করে ; অথবা ভিন্ন কোনো প্রতিনিধি x′ নির্বাচনের মাধ্যমেও নয় কারণ ∂x′ = ∂x = 0। লক্ষ্য করি যে, মেয়ার-ভিয়েটারিস ধারার মানচিত্র A এবং B এর ক্রমের উপর নির্ভর করে। সুনির্দিষ্টভাবে, সীমানাচিত্র চিহ্ন পরিবর্তন করে যদি A এবং B পারস্পরিক পরিবর্তিত হয়।

হ্রাসকৃত সংস্করণ

হ্রাসকৃত সমসংস্থের জন্যও A ∩ B ≠ ∅ $A\cap B\neq \emptyset$ স্বীকার্য ধরে একটি মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারা রয়েছে। ^[১১] এই ধারাটি ধনাত্মক মাত্রার সঙ্গে অভিন্ন এবং শেষাংশ নিম্নরূপ: ⋯ → H ~ 0 ( A ∩ B ) → ( i ∗ , j ∗ ) H ~ 0 ( A ) ⊕ H ~ 0 ( B ) → k ∗ − l ∗ H ~ 0 ( X ) → 0. $\cdots \to {\tilde {H}}_{0}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,{\tilde {H}}_{0}(A)\oplus {\tilde {H}}_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,{\tilde {H}}_{0}(X)\to 0.$

সেফাঁর-ভ্যান কাম্পেঁ তত্ত্বের সঙ্গে সাদৃশ্য

মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারা (বিশেষ করে একমাত্রিক সমসংস্থ গ্রুপের জন্য) এবং সেফাঁর-ভ্যান কাম্পেঁ তত্ত্বের সঙ্গে সাদৃশ্য রয়েছে।^[১০]^[১২] যখনই A ∩ B $A\cap B$ পথ-সংযুক্ত হয়, হ্রাসকৃত মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারাটি নিম্নোক্ত ধ্রুবরূপতা প্রদান করে H 1 ( X ) ≅ ( H 1 ( A ) ⊕ H 1 ( B ) ) / Ker ( k ∗ − l ∗ ) $H_{1}(X)\cong (H_{1}(A)\oplus H_{1}(B))/{\text{Ker}}(k_{*}-l_{*})$

যেখানে, শৃঙখলতা অনুসারে, Ker ( k ∗ − l ∗ ) ≅ Im ( i ∗ , j ∗ ) . ${\text{Ker}}(k_{*}-l_{*})\cong {\text{Im}}(i_{*},j_{*}).$

এটি নিঁখুতভাবে সেফাঁ্র ভ্যান কাম্পেঁ তত্ত্বের আবেলীয়কৃত রূপ। একে মৌলিক গ্রুপ π 1 ( X ) $\pi _{1}(X)$ (যেখানে X $X$ পথ-সংযুক্ত) এর আবেলীয় রূপ H 1 ( X ) $H_{1}(X)$ এর সঙ্গে তুলনা করা যেতে পারে।^[১৩]

মৌলিক প্রয়োগ

k-গোলক

X = S² এর বিশ্লেষণ

k-গোলক X = S^k এর সমসংস্থতা সম্পূর্ণভাবে নির্ণয় করতে, ধরি A এবং B, একটি (k − 1)-মাত্রিক নিরক্ষীয় গোলকের সমান ছেদাংশ বিশিষ্ট X এর দুটি অর্ধগোলক। S যেহেতুk-মাত্রিক অর্ধ গোলক এবং ক-চাকতিসমূহ পারস্পরিক রূপান্তরযোগ্য এবং সংকোচনযোগ্য, A এবং B এর সমসংস্থ গ্রুপ এক উপাদানবিশিষ্ট। ফলে, ⋯ ⟶ 0 ⟶ H ~ n ( S k ) → ∂ ∗ H ~ n − 1 ( S k − 1 ) ⟶ 0 ⟶ ⋯ $\cdots \longrightarrow 0\longrightarrow {\tilde {H}}_{n}\!\left(S^{k}\right)\,{\xrightarrow {\overset {}{\partial _{*}}}}\,{\tilde {H}}_{n-1}\!\left(S^{k-1}\right)\longrightarrow 0\longrightarrow \cdots$

এর ফলে শৃঙ্খলতা দ্বারা বোঝা যায় যে, ∂_* মানচিত্রটি সমরূপ। সমসংস্থ গ্রুপের জন্য ০-গোলক (দুটি বিন্দু) কে ব্যবহার করে গাণিতিক আরোহ বিধি অনুসারে ^[১৪] H ~ n ( S k ) ≅ δ k n Z = { Z if n = k 0 if n ≠ k ${\tilde {H}}_{n}\!\left(S^{k}\right)\cong \delta _{kn}\,\mathbb {Z} ={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\mbox{if }}n=k\\0&{\mbox{if }}n\neq k\end{cases}}$ যেখানে δ Kronecker delta। গোলকের জন্য সমসংস্থ গ্রুপগুলো সম্পূর্ণরূপে বোঝার বিষয়টি সমটপো গ্রুপের বর্তমান জ্ঞানের সাথে বিচ্ছিন্ন, বিশেষ করে n > k k}”> এর ক্ষেত্রে যা প্রায় অজানা^[১৫]

ক্লেন বোতল

ক্লেন বোতল (যথোপযুক্ত ধার শনাক্তকরণসহ মৌলিক বহুভুজ) A (নীল) এবং B (লাল) রেখাচিত্রে বিশ্লেষিত

মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারার সামান্য জটিল প্রয়োগ হলো ক্লেন বোতল X এর সমসংস্থ গ্রুপগুলো পরিমাপ করা। একটি উপায় হল এমনভাবে X এর রেখা বিশ্লেষণ করা, যেন দুটি মৌবিয়াস রেখা A এবং B এর সংযোগ তাদের সীমানা বৃত্তের সঙ্গে যুক্ত থাকে। (ডানের চিত্র) অতঃপর A, B এবং তাদের ছেদ A∩B বৃত্ত গুলোর সঙ্গে সমটপো সদৃশ, ফলে ধারাটির অশূন্য অংশ থেকে :^[১৬] 0 → H 2 ( X ) → Z → α Z ⊕ Z → H 1 ( X ) → 0 $0\rightarrow H_{2}(X)\rightarrow \mathbb {Z} \ {\xrightarrow {\overset {}{\alpha }}}\ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \rightarrow \,H_{1}(X)\rightarrow 0$

এবং নগণ্য অংশটি দুই এর অধিক মাত্রাবিশিষ্ট সমসংস্থকে বাদ দেয়। কেন্দ্রীয় মানচিত্র α 1 কে (2, −2) এ পাঠায়, কারণ একটি মৌবিয়াস ব্যান্ডের সীমানা বৃত্ত মূল বৃত্তের চারপাশে দুইবার আবদ্ধ হয়। সুনির্দিষ্টভাবে, α এক-এক হওয়ায় দ্বিমাত্রিক সমসংস্থও অপসারিত হয়। অবশেষে, Z² এর ভিত্তি হিসেবে (1, 0) এবং (1, −1) কে নির্বাচন করলে, H ~ n ( X ) ≅ δ 1 n ( Z ⊕ Z 2 ) = { Z ⊕ Z 2 if n = 1 0 if n ≠ 1 ${\tilde {H}}_{n}\left(X\right)\cong \delta _{1n}\,(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}&{\mbox{if }}n=1\\0&{\mbox{if }}n\neq 1\end{cases}}$

কীলক সমষ্টি

দুটি ২-গোলকের কীলক সমষ্টিকে এভাবে বিশ্লেষণের ফলে K এবং L, X এর সকল সমসংস্থ গ্রুপ তৈরী করে

ধরি, দুটি ক্ষেত্র K এবং L এর কীলক সমষ্টি X ,এবং আরো মনে করি যে, চিহ্নিত ভিত্তিবিন্দু, মুক্ত নিকটবর্তিতাসমূহ, U ⊂ K এবং V ⊂ L, এর একটি বিকৃতি প্রত্যাহার। A = K∪V এবং B = U∪L ধরলে A∪B = X এবং A∩B = U∪V হয়, যা গঠনগতভাবে সংকোচনযোগ্য। ফলে, এই ধারাটির হ্রাসকৃত সংস্করণের মাধ্যমে যেকোনো মাত্রা n এর জন্য :^[১৭] H ~ n ( K ∨ L ) ≅ H ~ n ( K ) ⊕ H ~ n ( L ) ${\tilde {H}}_{n}(K\vee L)\cong {\tilde {H}}_{n}(K)\oplus {\tilde {H}}_{n}(L)$

ডানের চিত্রে X দুটি ২-গোলক K এবং L এর সমষ্টি। এই বিশেষ ক্ষেত্রে, ২-গোলকের জন্য উপরোল্লিখিত ফলাফল ব্যবহার করে, H ~ n ( S 2 ∨ S 2 ) ≅ δ 2 n ( Z ⊕ Z ) = { Z ⊕ Z if n = 2 0 if n ≠ 2 ${\tilde {H}}_{n}\left(S^{2}\vee S^{2}\right)\cong \delta _{2n}\,(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} )=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &{\mbox{if }}n=2\\0&{\mbox{if }}n\neq 2\end{matrix}}\right.$

নিলম্বন

০-গোলক Y এর নিলম্বন X বিশ্লেষণের ফলে X এর সকল সমসংস্থ গ্রুপ উৎপন্ন হয়।

যদি X একটি ক্ষেত্র Y এর নিলম্বন SY হয়, ধরি, দ্বিশঙ্কুর উপরে এবং নিচের ‘শীর্ষ’দ্বয় যথাক্রমে A এবং B, X এ পরস্পরের পূরক। তাহলে X হল সংকোচনশীল A এবং B এর সঙ্গে A∪B এর সংযোগ। পাশাপাশি, ছেদক্ষেত্র A∩B, Y এর সমটপো। ফলে, মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারা অনুযায়ী, যেকোনো n এর জন্য,^[১৮] H ~ n ( S Y ) ≅ H ~ n − 1 ( Y ) ${\tilde {H}}_{n}(SY)\cong {\tilde {H}}_{n-1}(Y)$

ডানের চিত্রটিতে ০-গোলক Y এর নিলম্বন ১-গোলক X। সাধারণভাবে লক্ষ্য করা যায় যে, k-গোলক হল (k − 1)-গোলকের নিলম্বন,যার দ্বারা আরোহ পদ্ধতিতে উপর্যুক্ত উপায়ে k-গোলকের সমসংস্থ গ্রুপসমূহকে প্রতিপাদন করা যায়।

পুনরালোচনা

আপেক্ষিক আকার

মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারার একটি আপেক্ষিক রূপও বিদ্যমান। যদি Y ⊂ X এবং C ⊂ A ও D ⊂ B এর সংযোগ সেট হয়, তবে শৃঙখলিত ধারাটি হল :^[১৯] ⋯ → H n ( A ∩ B , C ∩ D ) → ( i ∗ , j ∗ ) H n ( A , C ) ⊕ H n ( B , D ) → k ∗ − l ∗ H n ( X , Y ) → ∂ ∗ H n − 1 ( A ∩ B , C ∩ D ) → ⋯ $\cdots \to H_{n}(A\cap B,C\cap D)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A,C)\oplus H_{n}(B,D)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X,Y)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B,C\cap D)\to \cdots$

স্বাভাবিকতা

সমসংস্থ গ্রুপগুলো গুলো স্বাভাবিক এ কারণে যে, যদি f : X 1 → X 2 $f:X_{1}\to X_{2}$ একটি বিচ্ছিন্ন চিত্রাংকন হয় তবে সমসংস্থ গ্রুপ f ∗ : H k ( X 1 ) → H k ( X 2 ) $f_{*}:H_{k}(X_{1})\to H_{k}(X_{2})$ এর অনুশাসনিক অগ্রগমন রয়েছে যেন সংযোজনের অগ্রগমন এবং অগ্রগমনের সংযোজন পরস্পর সমতূল্য হয়: অর্থাৎ, ( g ∘ h ) ∗ = g ∗ ∘ h ∗ $(g\circ h)_{*}=g_{*}\circ h_{*}$ । যদি X 1 = A 1 ∪ B 1 X 2 = A 2 ∪ B 2 and f ( A 1 ) ⊂ A 2 f ( B 1 ) ⊂ B 2 ${\begin{matrix}X_{1}=A_{1}\cup B_{1}\\X_{2}=A_{2}\cup B_{2}\end{matrix}}\qquad {\text{and}}\qquad {\begin{matrix}f(A_{1})\subset A_{2}\\f(B_{1})\subset B_{2}\end{matrix}}$

হয় তবুও মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারাটি স্বাভাবিক থাকে।

তবে মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারার সংযোগকারী রূপ, ∂ ∗ , $\partial _{*},$ f ∗ $f_{*}$ এর সঙ্গে বিনিময় ঘটে।^[২০] নিম্নে বিনিময়যোগ্য চিত্রটি ^[২১] ⋯ H n + 1 ( X 1 ) ⟶ H n ( A 1 ∩ B 1 ) ⟶ H n ( A 1 ) ⊕ H n ( B 1 ) ⟶ H n ( X 1 ) ⟶ H n − 1 ( A 1 ∩ B 1 ) ⟶ ⋯ f ∗ ↓ f ∗ ↓ f ∗ ↓ f ∗ ↓ f ∗ ↓ ⋯ H n + 1 ( X 2 ) ⟶ H n ( A 2 ∩ B 2 ) ⟶ H n ( A 2 ) ⊕ H n ( B 2 ) ⟶ H n ( X 2 ) ⟶ H n − 1 ( A 2 ∩ B 2 ) ⟶ ⋯ ${\begin{matrix}\cdots &H_{n+1}(X_{1})&\longrightarrow &H_{n}(A_{1}\cap B_{1})&\longrightarrow &H_{n}(A_{1})\oplus H_{n}(B_{1})&\longrightarrow &H_{n}(X_{1})&\longrightarrow &H_{n-1}(A_{1}\cap B_{1})&\longrightarrow &\cdots \\&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }\\\cdots &H_{n+1}(X_{2})&\longrightarrow &H_{n}(A_{2}\cap B_{2})&\longrightarrow &H_{n}(A_{2})\oplus H_{n}(B_{2})&\longrightarrow &H_{n}(X_{2})&\longrightarrow &H_{n-1}(A_{2}\cap B_{2})&\longrightarrow &\cdots \\\end{matrix}}$

সহসমসাংস্থিক সংস্করণ

G গ্রুপের মাধ্যমে অদ্বৈত সমসংস্থ গ্রুপের জন্য দীর্ঘ শৃঙখলিত ধারাটি সমসংস্থ সংস্করণের সঙ্গে দ্বৈত। এটি নিম্নরূপ:^[২২] ⋯ → H n ( X ; G ) → H n ( A ; G ) ⊕ H n ( B ; G ) → H n ( A ∩ B ; G ) → H n + 1 ( X ; G ) → ⋯ $\cdots \to H^{n}(X;G)\to H^{n}(A;G)\oplus H^{n}(B;G)\to H^{n}(A\cap B;G)\to H^{n+1}(X;G)\to \cdots$

যেখানে মাত্রা সংরক্ষিত চিত্রাংকনগুলো অন্তর্ভুক্তির মাধ্যমে প্রভাবান্বিত সীমাবদ্ধ চিত্রাংকন। এ সম্পর্কিত আরেকটি রূপও রয়েছে।

গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্র হিসেবে বাস্তব সংখ্যা R এবং এর অন্তর্ভুক্ত সকল টপোগাণিতিক ক্ষেত্র সমূহের গ্রুপ G এর সুষম গুণকের গঠনটি বিদ্যমান থাকায় দ্য রাম সহসমসংস্থ তত্ত্বের জন্য মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারাটি নিম্নরূপ: ⋯ → H n ( X ) → ρ H n ( U ) ⊕ H n ( V ) → Δ H n ( U ∩ V ) → d ∗ H n + 1 ( X ) → ⋯ $\cdots \to H^{n}(X)\,{\xrightarrow {\rho }}\,H^{n}(U)\oplus H^{n}(V)\,{\xrightarrow {\Delta }}\,H^{n}(U\cap V)\,{\xrightarrow {d^{*}}}\,H^{n+1}(X)\to \cdots$

যেখানে X, ρ এর মুক্ত আচ্ছাদন {U, V} সীমাবদ্ধ চিত্রাঙ্কন এবং Δ পার্থক্যকে নির্দেশ করে। উপরোল্লিখিত চিত্রাঙ্কন ∂ ∗ $\partial _{*}$ এর মতোই d ∗ $d^{*}$ চিত্রাংকনটি সংজ্ঞায়িত। একে নিম্নোক্তভাবে প্রকাশ করা যায়। U∩V এর মধ্যে বদ্ধ অন্তরজ ω দ্বারা প্রকাশিত কোন সহসমসংস্থ শ্রেণী [ω] এর জন্য , ω কে ঐক্যবিভক্তির অধীনে মুক্ত আচ্ছাদন {U, V} এর মাধ্যমে ω U − ω V $\omega _{U}-\omega _{V}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। বহিঃস্থ অন্তরজ dω_U এবং dω_V উভয়ে U∩V কে সিদ্ধ করে এবং সুতরাং, একইসঙ্গে X এ একটি n + 1 আকারের σ কে সংজ্ঞায়িত করে। এর ফলে d^∗([ω]) = [σ] পাওয়া যায়।

প্রতিপাদন

শৃঙখল গ্রুপের ক্ষুদ্র শৃঙখলিত ধারার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দীর্ঘ শৃঙখল ধারা বিবেচনা করা যাক। এক্ষেত্রে, 0 → C n ( A ∩ B ) → α C n ( A ) ⊕ C n ( B ) → β C n ( A + B ) → 0 $0\to C_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {\alpha }}\,C_{n}(A)\oplus C_{n}(B)\,{\xrightarrow {\beta }}\,C_{n}(A+B)\to 0$

যেখানে α(x) = (x, −x), β(x, y) = x + y, এবং A ও B তে অবস্থিত শৃঙখলগুলোর সমষ্টিবিশিষ্ট শৃঙখল গ্রুপ C_n(A + B)।^[৯] স্পষ্টতঃ যে, X- এর অদ্বৈত ক্রমবর্তী সিমপ্লেক্সগুলো, যাদের প্রতিবিম্বগুলো A বা B এ রয়েছে, তারা সকল সমসংস্থ গ্রুপ H_n(X) উৎপন্ন করে।^[২৩] অন্য কথায়, H_n(A + B) এবং H_n(X) পরস্পর সমরূপ। এটি অদ্বৈত সমসংস্থের জন্য মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারা প্রদান করে।

একই পদ্ধতি অন্তরজ আকারের ভেক্টর ক্ষেত্রগুলোর ক্ষুদ্র শৃঙখলিত ধারার উপর প্রয়োগ করে, 0 → Ω n ( X ) → Ω n ( U ) ⊕ Ω n ( V ) → Ω n ( U ∩ V ) → 0 $0\to \Omega ^{n}(X)\to \Omega ^{n}(U)\oplus \Omega ^{n}(V)\to \Omega ^{n}(U\cap V)\to 0$

যা হতে দ্য রাম সহসমসংস্থ তত্ত্বের জন্য মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারা পাওয়া যায়। ^[২৪]

অন্যভাবে বলা যায়, দীর্ঘ শৃঙখলিত ধারা ব্যবহার করে সমসংস্থ তত্ত্বগুলোর জন্য প্রদত্ত এলিয়েবার্গ-স্টিনরোড স্বতঃসিদ্ধ সমূহ হতে মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারা পাওয়া যায়।^[২৫]

অন্যান্য সমসংস্থ তত্ত্ব

এলিয়েনবার্গ-স্টিনরোড স্বতঃসিদ্ধ হতে মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারা প্রতিপাদনের জন্য মাত্রা স্বতঃসিদ্ধের প্রয়োজন হয় না ,^[২৬] ফলে সাধারণ সমসংস্থ তত্ত্বে অন্তর্ভুক্ত হওয়ার মাধ্যমে এটি অসাধারণ সমসংস্থ তত্ত্বকেও ধারণ করে(যেমন টপোগাণিতিক K-তত্ত্ব এবং সহতলত্ব)

গুচ্ছ সহসমসংস্থ তত্ত্ব

গুচ্ছ সহসমসংস্থের দৃষ্টিকোণ থেকে,মেয়ার-ভিয়েটরিস ক্রমটি চেক সহসমসংস্থ তত্ত্বের সঙ্গে সম্পর্কিত। বিশেষ করে,যখন দুটি মুক্ত সেটের জন্য চেক সহসমসংস্থ নির্ণয় করতে মুক্ত আচ্ছাদন ব্যবহৃত হয়, তখন বর্ণালী ক্রমের অবরোহ হতে মেয়ার-ভিয়েটরিস ধারা উদ্ভূত হয় এবং তা উক্ত চেক সমসংস্থ তত্ত্বকে গুচ্ছ সহসমসংস্থের (কখনো কখনো মেয়ার-ভিয়েটরিস বর্ণালী ক্রমও বলা হয়) সঙ্গে সম্পর্কিত করে। ^[২৭] এই বিশেষ বর্ণালী ক্রমটি ইচ্ছামূলক টপোসগুলোতে বিদ্যমান।^[২৮]

আরো দেখুন
- ছেদন উপপাদ্য
January 8, 2023